Projection, symétrie

[invite0fd5e1c6]

Un cours d'algebre lineare vient de me poser des questions
http://www.gycham.vd.ch/~greg/Vo/int...morphismes.pdf

J'ai lu ce document attentivement et il reste quelques soucis
D'abord, pour la projection, d'ou vient le p(v)=0?
Et la même question pour s(v)=-v, j'arrive pas à imaginer au niveau de la géométrie

Et la derniere proposition sur la projection donne:
p admet uniquement les valeurs propres 0 et 1 , E0 est la direction de p , E1 est la base de p

Voila la démonstration fournie et sur laquelle mes questions...

Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors u = p(x) = λ x = λ (u + v) = λ u + λ v, c’est-à-dire (λ − 1) u + λ v = 0.
i. u = 0 et v = 0, entraîne la contradiction λ − 1 = 0 et λ = 0, attendu que les vecteurs u et v sont linéairement indépendants.
Pour ça je n'ai pas compris, λ ne peut pas prendre deux valeurs en même temps, pourquoi "u et v sont linéairement indépendants"?
ii. u = 0 et v = 0 donne λ − 1 = 0, c’est-à-dire E1 = U
Je suis d'accord avec E1=U, mais comment ca implique "E1 est la base de p"??
iii. u = 0 et v = 0 implique λ = 0, à savoir E0 = V.
Meme question, pourquoi "E0 est la direction de p"
iv. u = 0 et v = 0 est impossible, car le vecteur propre x n'est pas 0
OK

Je sais que la question est un peu longue
Merci et attendant vos idées
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[invite3ce72bf9]

Bonjour,

pour ta première question, justement, il n'existe aucun vérifiant à la fois et ...

Les vecteurs u et v sont linéairement indeps car ils appartiennent à deux espaces qui sont supplémentaires dans E.

Si tu avais effectivement lu le document attentivement tu aurais remarqué qu'il était dit dans la définition que le projecteur est de base U et de direction V. Là dessus tu trouves que E1 = U donc "E1 est la base de p" et tu trouves que E0 = V donc "E0 est la direction de p".

MisterDa

[invite0fd5e1c6]

Merci beaucoup! Juste une derniere question, je n'ai pas très bien compris une "direction" d'une matrice
Si on pose dimE=3, a savoir que U,V deux espaces supplémentaires dans E, soit dimU=2, dimV=1 avec
U=
1 0
0 1

V=(1,2)

Qu'est-ce que ca signifie geometriquement?? Avec produit scalaire de U.V, dim(U.V)=1, il n'est plus d'une matrice !

[invite3ce72bf9]

des matrices ? U et V sont des sous-espaces vectoriels...
Dans ton exemple U est de dimension 2, c'est un (hyper)plan. Mais ça ne veut pas dire que les vecteurs qui appartiennent à U n'ont que deux composantes... ici ils en auront trois puisque l'espace ambiant est E de dimension 3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fd5e1c6]

ici ils en auront trois puisque l'espace ambiant est E de dimension 3

Je suis perdu Pourquoi dimension 3?

[invite3ce72bf9]

parce que c'est toi qui l'a dit ! "Si on pose dimE=3..."