Calcul d'une intégrale

invite945d3fbd · 15/02/2012, 04h22

Bonjour a tous,
Dans un probleme de physique je suis tombé sur une intégrale du type $\text{[math]}$ . Ou k et b sont des constantes réelles. J'ai essayé une intégration par partie et une substitution mais ca ne m'a mené nulle part. Avez-vous une idée pour abattre cette intégrale? Merci d'avance.

invite63e767fa · 15/02/2012, 08h17

Message supprimé.

invite63e767fa · 15/02/2012, 08h51

f(k) = sin(kp)exp(-bp)/p
dérive relativement à k.
intègre relativement à p, de p=0 à l'infini.
intègre relativement à k.
détermine la constante d'intégration (=zéro)
Le résultat est arctg(k/b)

**albanxiii** · 15/02/2012, 12h45

Bonjour,

Envoyé par JJacquelin

dérive relativement à k.

C'est la méhtode "secrète" de Feynman pour calculer certaines intégrale récalcitrantes (dérivation sous le signe somme). Ca peut être intéressant pour un physicien de s'en souvenir.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite945d3fbd · 15/02/2012, 20h06

Franchement géniale la méthode, j'arrive a ton résultat, quoique j'ai triché pour un calcul (Wolfram alpha). En gros je bloque a $\text{[math]}$ . Encore une fois l'intégration par parties ne me mene nulle part, et je ne vois pas de substitution qui pourrait aider.

Petite question a part: Est-ce possible de résoudre l'intégrale originale en passant par l'analyse complexe? Ce que je trouve bizarre c'est que la fonction $\text{[math]}$ n'est pas définie pour $\text{[math]}$ , il me semble qu'elle a donc un pole en $\text{[math]}$ . Cependant le résidu vaut 0... puisque $\text{[math]}$ . Ca veut dire quoi exactement ca?

inviteea028771 · 15/02/2012, 20h26

Pour calculer l'intégrale de cos(kp)e^(-bp) on peut au choix :

Utiliser la formule d'Euler pour écrire le cosinus comme la somme de 2 exponentielles
Faire une double intégration par partie (en dérivant le même terme), on se trouve alors avec un truc du genre : I = c + d I, et en faisant passer l'intégrale de l'autre coté on a sa valeur

invite945d3fbd · 15/02/2012, 21h34

Ok merci, j'arrive au résultat avec la double intégration par partie.
Tandis qu'avec la formule d'Euler j'arrive a $\text{[math]}$ .

inviteea028771 · 15/02/2012, 21h44

Et une primitive de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

Et en bidouillant un peu ça, on retombe sur une expression sympathique à base de cos, sin et exponentielle

invite945d3fbd · 15/02/2012, 22h15

Merci encore.
J'arrive a $\text{[math]}$ . Je ne vois pas trop comment me défaire des nombres complexes.

**breukin** · 15/02/2012, 22h34

Ce que je trouve bizarre, c'est que la fonction $\text{[math]}$ n'est pas définie pour 0.

Elle est parfaitement définie en 0 par continuité, et elle y vaut $\text{[math]}$ .

invite945d3fbd · 15/02/2012, 22h37

Envoyé par breukin

Elle est parfaitement définie en 0 par continuité, et elle y vaut $\text{[math]}$ .

Ah je viens de comprendre mon erreur... c'est une singularité effacable et non un pole d'ordre 1. Merci

inviteea028771 · 15/02/2012, 22h42

Envoyé par arbolis87

Merci encore.
J'arrive a $\text{[math]}$ . Je ne vois pas trop comment me défaire des nombres complexes.

En faisant quelque chose du genre :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**breukin** · 15/02/2012, 22h50

Sans ça, si $\text{[math]}$ ,
comme vous l'avez trouvé, on a : $\text{[math]}$
et donc égal à $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$
Et comme on doit avoir $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , c'est que $\text{[math]}$ .

invite945d3fbd · 15/02/2012, 23h06

Ok merci Tryss, probleme résolu.
breuki: je ne comprends pas comment tu es passé de $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ . A part ca j'ai compris le reste.

**breukin** · 16/02/2012, 09h48

Ben en calculant l'intégrale !
Une primitive de $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ , pour tout nombre complexe $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ sous réserve que $\text{[math]}$ pour que l'exponentielle en l'infini s'annule.

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