Série de fonctions

[invite476719f2]

Bonjour,

Voilà ma question est courte mais me tracasse: j'ai pu lire dans un manuel "la série de fonctions de terme général un converge uniformément, et pour tout n,
la fonction t->exp(-int) est bornée donc la série de terme général t->un(t)*exp(-int) converge uniformément."

Pour faire court, je ne vois pas en quoi le caractère borné de exp(-int) permet de conclure quant à la convergence uniforme de la série des un*exp(-int).

Si quelqu'un peut m'aider, merci beaucoup.

PS: la convergence a lieu sur un compact mais bon je suis pas sûr que ça ait une importance
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[inviteaf1870ed]

La série Un(t)exp(-int) converge normalement donc uniformément...

[invite476719f2]

L'hypothèse est une convergence uniforme et non normale.

[inviteea028771]

Il manque un "vers zéro" après "converge uniformément":

Si la suite Un converge uniformément vers 0 alors Un*fn(t) converge uniformément vers 0 pour fn bornée (pour tout n et t)

En effet, |Un*fn(t)| < M |Un(t)| et ça permet d'obtenir facilement la convergence uniforme de Un*fn grâce à la convergence uniforme de Un

Si la suite Un converge uniformément vers une fonction autre que 0, ça n'est évidement pas vrai, il suffit de prendre Un = 1 et fn = (-1)^n pour s'en convaincre

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite476719f2]

Merci Tryss pour la réponse mais il s'agit d'une série dont le terme général est Un, et non d'une suite. Et je confirme qu'il s'agit de convergence uniforme tout court.

[invite476719f2]

Après recherche et si il y en a que ça intéresse (par exemple ericcc qui confond convergence normale et uniforme...) , l'argument était en fait la convergence uniforme du reste vers 0.

[inviteaf1870ed]

Trop de condescendance peut parfois nuire à son auteur (Proverbe Mongol)