Serie de fonctions

[invite3d4a2616]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

Soit .

a) Montrer que pour tout x > 0, la série converge et pour tout x > 1, la série est absolument convergente.

b) Montrer que pour tout a > 0, la série de fonctions converge uniformément sur [a,+infini[ et que pour tout a > 1, la série de fonctions est normalement convergente sur [a,+infini[.

Voilà ce que j'ai commencé à faire :

a) pour x > 1 qui est une série de Riemann convergente, donc est absolument convergente sur ]1;+infini[ et donc elle est convergente sur ]1;+infini[.
Pour la convergence simple, j'utilise le critère spéciale des séries alternées.

b) pour a > 1, j'arrive à montrer la convergence normale en majorant |u_n(x)| par n^-a qui est le terme d'une série de Riemann convergente.
Par contre, je n'arrive pas à montrer la convergence uniforme sur ]0;1] (puisque sur ]1;+infini[ elle l'est d'après la convergence normale). Mon pb, c'est que je ne sais pas vers quelle somme, elle converge.

Des idées ?
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[invite34b13e1b]

salut, que dire du reste?

[invite3d4a2616]

Salut,

je crois me souvenir que la valeur absolue du reste d'une série alternée convergente est majorée par la valeur absolue de son 1er terme, ici on a donc :

.

Mais je ne vois pas à quoi ça peut me servir ... Tu me donnais un peu plus d'info, please ?

PS : je peux qd même montrer que pour tout b > 0, le reste converge uniformément sur [b;+ infini[. Cela suffit-il ?

[invite34b13e1b]

très bon ps.

Cela suffit-il ?

a ton avis?

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Quelle relation lie le reste à la suite des sommes partielles?

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