Puissance itérée

[invite07dd2471]

Bonsoir,

Si j'ai A matrice symétrique réelle (de sorte qu'elle soir diagonalisable),

Quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi la suite de vecteurs définie par quelconque, et, pour tout entier naturel n, converge vers le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de A.

Je vois bien que si ça converge ça doit se faire vers un vecteur propre, mais comment est-on sur que ça converge, et pourquoi le plus grand vecteur propre ?
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[invitea07f6506]

Dit comme cela, c'est faux, et pour plusieurs raisons :
* Il y a des vecteurs initiaux pour lesquels la suite ne converge pas si la matrice a des valeurs propres négatives (regarder par exemple le cas ) ;
* Pire encore : si la valeur propre de plus grand module est strictement négative, alors il n'y a pas convergence pour presque tout vecteur initial ;
* On ne peut pas forcément dire "le vecteur propre" si la valeur propre la plus grande est de multiplicité au moins 2 ;
* Si la matrice n'est pas une homothétie, alors il existe des vecteurs initiaux pour lesquels la suite ne converge pas, ou bien converge mais pas vers un vecteur propre associé à la plus grande valeur propre.

Je pense qu'il faut donc imposer une condition supplémentaire sur la matrice , par exemple "la valeur propre de plus grand module de est strictement positive". Ensuite, il faut recherche un résultat plus faible, où la convergence a lieu pour presque tout vecteur initial (pour donner une sens rigoureux à ce "presque tout" : ici, cela pourrait signifier "pour tout vecteur n'appartenant pas à un certain hyperplan") et non pour tout vecteur initial.

Enfin, pour démontrer ce résultat affaibli, je propose de choisir une base orthonormale de vecteur propres de , et de décomposer le vecteur dans cette base. Cela devrait simplifier un peu la récurrence, histoire de voir un peu mieux ce qu'il se passe.

[invite07dd2471]

Entendu je vais regarder ça merci ! C'est vrai que dans le cas qui m'intéresse la matrice sera finalement symétrique définie positive donc pas de problème pour le signe des valeurs propres !

Je vais posterai mes conclusions après essais de démo ce week-end