la fonction x-->sin(a/x) et Images d'intervalles de R

[invite0484ff5d]

Bonjour tout le monde ,
J'espere que ma question n'a pas déjà été posée.
Je vous serai très reconnaissant si vous pouviez m'éclaircir sur une question:
Comment montre t'on que l'image de tout intervalle de R par la fonction x-->sin(a/x) est un intervalle ?
Pourtant cette dernière n'est pas continue sur R...
Merci d'avance, et désolé si la question a été mal posé ou autre !
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[invite705d0470]

Non, c'est très clair
J'exclue immédiatement le cas a=0 (cas particulier vraiment inutile).
La question se pose réellement sur tout intervalle de la forme où , sur lequel f n'est justement pas définie. Partout ailleurs, c'est une simple conséquence du TVI.
Tu veux donc montrer que . On a immédiatement , il suffit donc de montrer .
Je te propose une idée de méthode (rapide!): sachant que , on a . (je n'ai pas bcp justifié, mais la def de la limite permet d'en trouver un plus petit que b, et par suite ...)
Donc,.
Or par périodicité , ce qui donne le résultat

[invite705d0470]

Bon, sur cette fonction classique (utilisée pour la contre-intuition d'une réciproque de théorème des valeurs intermédiaires), l'idée est que les oscillations sont de "plus en plus resserrées" au fur et à mesure que l'on s'approche de 0, si bien que l'on trouvera toujours un intervalle, dans par exemple, qui permet une oscillation complète.

Par contre, j'ai supposé implicitement que f était prolongée en 0 et que .
Sinon, le résultat est bien évidemment faux !

[invite0484ff5d]

Merci infiniment Snowey, on sent que tu t'impliques vraiment dans tes réponses, et c'est tres gentil de ta part
Bonne journée sur ce et bonne continuation

Ps:je voulais ecrire x-->sin(1/x), mais bon, ca revient a la même chose...

[A voir en vidéo sur Futura]