{1,sin,sin^2,sin^3} famille libre dans R?

invite4382e34e · 21/01/2011, 12h10

Bonjour!

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre comment démontrer que la famille {1,sin,sin^2,sin^3} est libre dans R?

Merci d'avance et bonne après-midi.

Ch.

**Médiat** · 21/01/2011, 12h27

Impossible, {1,sin,sin^2,sin^3} ne sont pas des réels !

Pour montrer qu'une famille de fonctions est libre, il suffit d'écrire la définition d'une famille libre, et de vous rappeler que des fonctions sont égales ssi elles prennent la même valeur pour tous éléments de l'ensemble de départ (commun).

inviteaf1870ed · 21/01/2011, 15h47

Il peut être utile de regarder du côté de notre ami Vandermonde

invite0b91a80c · 25/01/2011, 04h06

Bonjour,

En fait c'est vrai pour la famille $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

En supposant que des $\text{[math]}$ vérifient

$\text{[math]}$

pour tout x réel, on peut considérer le polynome $\text{[math]}$ et remarquer qu'il a une infinite de racines, il est donc nul. Ce qui donne le résultat.

On peut généraliser l'exercice en remplacant le sinus par toute fonction surjective dans un intervalle d'interieur non vide.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

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