On m'a posé le problème suivant, et je n'ai pas su y répondre. Peut être l'un(e) d'entre vous a une solution ?
Soit f une fonction réelle (de R dans R) additive, c'est à dire telle que f(x+y)=f(x)+f(y).
Peut on prouver qu'elle est linéaire, i.e. f(ax+by) = af(x)+bf(y) ?
Si ce n'est pas le cas y a t il un contre-exemple ?
On ne sait pas si f est continue ou monotone, ce serait trop facile.
Bien sur on voit facilement que pour tout rationnel q, f(qx)=qf(x); mais ensuite ?
Sans la continuité je ne vois pas comment faire sortir un scalaire irrationel.
Même avec la monotonie comme tu dis ça n'a pas l'air d'être facile non ?
puisque ta demontrer que pour q E Q, f(qx) = q(fx)
pour demontrer que ca marche pour q E R, il suffit d'ecrire q sous forme d'une somme infinie de rationel
que tu pourra factoriser par la suite
Si la fonction n'est pas continue, je ne pourrai pas passer à la limite de ma somme de rationnels ?
Et je n'ai jamais trouvé de contre-exemple...
Je crois me souvenir qu'en raisonnant par l'absurde on peut le démontrer pour les irrationnels.
Tu peux nous en dire plus ?
Pour le cas monotone, voilà comment je vois les choses :
Posons a=f(1) pour se simplifier la vie. Alors f(q)=aq pour tout q rationnel.
f est monotone, supposons la croissante.
Soit r un irrationnel, et deux suites de rationnels pn et qn qui convergent vers r, et telles que pn<r<qn pour tout n.
Puisque f est croissante f(pn)<f(r)<f(qn)
donc a pn<f(r)<a qn
par le théorème de la Maison Poulaga f(r) = a r
elle est forcement continue cette fonction
si elle n'etait pas continue en x0 par exemple
alors f(x0 + y - y) serait different de f(x0+y) - f(y)
or f(x0) = f(x0)+f(y) - f(y) = f(x0+y) - f(y)
Si elle n'etait pas continue, tu ne pourrait pas avoir l'addition definit sur R, or par definition de f , pour tout x tu as f(x) (implicite dans f(x+y) = f(x) + f(y))
Je ne te suis pas Penelope : si on calcule |f(x0+h)-f(x0)| on trouve |f(h)|, là je suis d'accord.
Mais si h est réel, comment sais tu que f(h) tend vers 0 si h tend vers 0 ?
Autrement dit si f est continue en 0, alors elle est continue partout, je te l'accorde. Mais je ne crois pas que tu aies montré sa continuité en 0 ?
je calcule aucune limite la ...
suffit juste de demontrer que la discontinuité est impossible
je pense que tu sera daccord que , si il y a discontinuité en un seul point (par exemple), alors f(x0) ...la valeur de f en x0 au point de discontinuite sera different de
f(a+b)= f(a) + f(b) avec (a+b)=x0
se qui est contraire a la definition meme de ta fonction ...
Je ne suis pas convaincu : la fonction qui vaut -1 pour x<0, +1 pour x>0 et f(0) = 0 vérifie bien f(a+b) = f(a)+f(b) pour tout couple a,b dont la somme est nulle. Cependant cette fonction n'est pas continue en 0.
parfaitement exact ...Envoyé par ericcc
d'ailleurs tu viens de trouver ton contre exemple ..
donc pour ca
et la on peut dire que f(0.11 x 2) = 1 donc different de 0.11 * f(2) = 0.11Peut on prouver qu'elle est linéaire, i.e. f(ax+by) = af(x)+bf(y)
si tu pose que pour tout coupke a,b dont la somme est nulle , on a f(a+b) = f(a) + f(b)
alors tu ne pourra pas dire , que pour un couple a,b dont la somme est nulle , on a la linearité
a=2, b=-2 pour x <0 .. f(x) = -10 f(0) =0 .. x>0 f(x) = 10
alors
f(a+b) = f(a) + f(b) ... ok
f( 4 x 2 + 8x -2) = f( 8-16) = f(-8) = -10
different de 4*f(2) + 8*f(-2) = 4*10+ 8*-10 = -40
Mais... on a le droit, comme ça, de choisir pour quels a et b la propriété doit être vraie, et laisser tomber tous les autres ?
Pour a et b strictement positifs, f(a+b) est différent de f(a)+f(b), donc f n'est pas additive. Cette fonction ne vérifie pas l'énoncé.
en fait , erric a preciser ... pour tout couple a,b dont la somme est nulle ...
me suis fait avoir aussi a ma premiere réponse ...
Mais il faut tout lire. Il n'a jamais prétendu qu'elle vérifiait l'énoncé, c'était juste une réponse spécifique à un message de Penelope.
Comme si je postais sans avoir lu ce qui précède !
J'ai bien vu qu'il est précisé pour tout couple a,b dont la somme est nulle...
...ça n'empèche que pour moi ça ne répond pas à la question : Pénélope montre qu'en cas de discontinuité, on aboutit à un résultat contraire à la définition de la fonction. En réponse, ericc donne pour contre exemple une fonction qui est contraire à la définition de la fonctionIl est ou, le truc qui m'échappe ?
en fait le probleme partait de la
Si la fonction n'est pas continue, je ne pourrai pas passer à la limite de ma somme de rationnels ?
en fait je voit pas pourquoi , apres avoir demontrer que pour tout rationel
on a
f(x * rationel) = rationel * f(x)
tu ne peut pas conclure que
f(x * inifité de rationel) = infiité de rationel * f(x)
si tu poses pi = somme (0->n) An*10^-n , avec a0=3 ,a1=1, a2 = 4 etc
t'auras bien f(pi*x) = f ( 3*x + 0.1*x + 0.04 *x + ...)
= f(3*x) + f(0.1*x) + ... (par definition)
= 3*f(x) + 0.1 * f(x) +.... = f(x) [Somme] = f(x)*pi
et en generalisant
Mes excuses, mais t'énerves pas
Il a juste montré que l'implication:J'ai bien vu qu'il est précisé pour tout couple a,b dont la somme est nulle...
...ça n'empèche que pour moi ça ne répond pas à la question : Pénélope montre qu'en cas de discontinuité, on aboutit à un résultat contraire à la définition de la fonction. En réponse, ericc donne pour contre exemple une fonction qui est contraire à la définition de la fonction
f discontinue en x0 => f(x0) différent de f(a+b) = f(a) + f(b) pour a+b=x0
est fausse
En tous cas formulée dans ces termes et en utilisant juste l'hypothèse discontinue ne x0.
Parce que tu ne peux pas passer d'une somme finie à une somme infinie aussi facilement. La somme infinie est en fait la limite d'une suite, et en faisant ce que tu fais tu supposes implicitement que si an -> a alors f(an) -> f(a) et là tu utilises la continuité.
Euh en fait quelqu'un a un réponse à apporter : l'application sera-t-elle linéraire ou pas ?
Ce serait plus simples pour éventuellement chercher une démonstration ou un contre exemple selon le cas.
Non pas nécessairement.
Tu as un contre exemple alors ?
Pas un contre-exemple explicite.
Tu considères R comme un Q espace vectoriel.
Tu prends (xi) une base de R
Tu construits un endomorphisme de la manière suivante:
f(xi0) = 1 et f(xi) = 0 pour i <> i0
f induit un endomorphisme du groupe additif R non hométhétique.
Tu vas dire que je cherche la petite bète mais je ne vois pas pourquoi il ne laisse pas sortir les scalaires réels celui-là.
Faut dire que moi et les bases de R sur Q, ça fait deux
Le corps de base c'est Q, donc les seuls scalaires sont les rationnels.
On s'est mal compris : on est bien en train de chercher une fonction de R dans R qui soit additive mais non linéaire, ie qui ne laisse pas sortir les scalaires réels ?
En gros pourquoi n'est-elle pas homothétique ?
Parce qu'elle est non nulle mais envoie des réels non nuls sur 0.
Ah oui ça y est je suis convaincu, merci.
