Répondre à la discussion
Page 1 sur 2 1 DernièreDernière
Affichage des résultats 1 à 30 sur 36

Fonction additive ou linéaire ?



  1. #1
    ericcc

    Fonction additive ou linéaire ?


    ------

    On m'a posé le problème suivant, et je n'ai pas su y répondre. Peut être l'un(e) d'entre vous a une solution ?

    Soit f une fonction réelle (de R dans R) additive, c'est à dire telle que f(x+y)=f(x)+f(y).
    Peut on prouver qu'elle est linéaire, i.e. f(ax+by) = af(x)+bf(y) ?
    Si ce n'est pas le cas y a t il un contre-exemple ?

    On ne sait pas si f est continue ou monotone, ce serait trop facile.

    Bien sur on voit facilement que pour tout rationnel q, f(qx)=qf(x); mais ensuite ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    GuYem

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Sans la continuité je ne vois pas comment faire sortir un scalaire irrationel.

    Même avec la monotonie comme tu dis ça n'a pas l'air d'être facile non ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    puisque ta demontrer que pour q E Q, f(qx) = q(fx)


    pour demontrer que ca marche pour q E R, il suffit d'ecrire q sous forme d'une somme infinie de rationel

    que tu pourra factoriser par la suite

  5. #4
    ericcc

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Si la fonction n'est pas continue, je ne pourrai pas passer à la limite de ma somme de rationnels ?

    Et je n'ai jamais trouvé de contre-exemple...

  6. #5
    indian58

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Je crois me souvenir qu'en raisonnant par l'absurde on peut le démontrer pour les irrationnels.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ericcc

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Tu peux nous en dire plus ?

  9. Publicité
  10. #7
    ericcc

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Pour le cas monotone, voilà comment je vois les choses :

    Posons a=f(1) pour se simplifier la vie. Alors f(q)=aq pour tout q rationnel.
    f est monotone, supposons la croissante.

    Soit r un irrationnel, et deux suites de rationnels pn et qn qui convergent vers r, et telles que pn<r<qn pour tout n.

    Puisque f est croissante f(pn)<f(r)<f(qn)
    donc a pn<f(r)<a qn

    par le théorème de la Maison Poulaga f(r) = a r

  11. #8
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    elle est forcement continue cette fonction

    si elle n'etait pas continue en x0 par exemple

    alors f(x0 + y - y) serait different de f(x0+y) - f(y)


    or f(x0) = f(x0)+f(y) - f(y) = f(x0+y) - f(y)

    Si elle n'etait pas continue, tu ne pourrait pas avoir l'addition definit sur R, or par definition de f , pour tout x tu as f(x) (implicite dans f(x+y) = f(x) + f(y))

  12. #9
    ericcc

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Je ne te suis pas Penelope : si on calcule |f(x0+h)-f(x0)| on trouve |f(h)|, là je suis d'accord.
    Mais si h est réel, comment sais tu que f(h) tend vers 0 si h tend vers 0 ?

    Autrement dit si f est continue en 0, alors elle est continue partout, je te l'accorde. Mais je ne crois pas que tu aies montré sa continuité en 0 ?

  13. #10
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    je calcule aucune limite la ...

    suffit juste de demontrer que la discontinuité est impossible

    je pense que tu sera daccord que , si il y a discontinuité en un seul point (par exemple), alors f(x0) ...la valeur de f en x0 au point de discontinuite sera different de

    f(a+b)= f(a) + f(b) avec (a+b)=x0

    se qui est contraire a la definition meme de ta fonction ...

  14. #11
    ericcc

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Je ne suis pas convaincu : la fonction qui vaut -1 pour x<0, +1 pour x>0 et f(0) = 0 vérifie bien f(a+b) = f(a)+f(b) pour tout couple a,b dont la somme est nulle. Cependant cette fonction n'est pas continue en 0.

  15. #12
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par ericcc
    Je ne suis pas convaincu : la fonction qui vaut -1 pour x<0, +1 pour x>0 et f(0) = 0 vérifie bien f(a+b) = f(a)+f(b) pour tout couple a,b dont la somme est nulle. Cependant cette fonction n'est pas continue en 0.
    parfaitement exact ...
    d'ailleurs tu viens de trouver ton contre exemple ..

    donc pour ca
    Peut on prouver qu'elle est linéaire, i.e. f(ax+by) = af(x)+bf(y)
    et la on peut dire que f(0.11 x 2) = 1 donc different de 0.11 * f(2) = 0.11

  16. Publicité
  17. #13
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    si tu pose que pour tout coupke a,b dont la somme est nulle , on a f(a+b) = f(a) + f(b)

    alors tu ne pourra pas dire , que pour un couple a,b dont la somme est nulle , on a la linearité

  18. #14
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    a=2, b=-2 pour x <0 .. f(x) = -10 f(0) =0 .. x>0 f(x) = 10

    alors

    f(a+b) = f(a) + f(b) ... ok

    f( 4 x 2 + 8x -2) = f( 8-16) = f(-8) = -10

    different de 4*f(2) + 8*f(-2) = 4*10+ 8*-10 = -40

  19. #15
    yat

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par ericcc
    Je ne suis pas convaincu : la fonction qui vaut -1 pour x<0, +1 pour x>0 et f(0) = 0 vérifie bien f(a+b) = f(a)+f(b) pour tout couple a,b dont la somme est nulle. Cependant cette fonction n'est pas continue en 0.
    Mais... on a le droit, comme ça, de choisir pour quels a et b la propriété doit être vraie, et laisser tomber tous les autres ?
    Pour a et b strictement positifs, f(a+b) est différent de f(a)+f(b), donc f n'est pas additive. Cette fonction ne vérifie pas l'énoncé.

  20. #16
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    en fait , erric a preciser ... pour tout couple a,b dont la somme est nulle ...


    me suis fait avoir aussi a ma premiere réponse ...

  21. #17
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par yat
    Mais... on a le droit, comme ça, de choisir pour quels a et b la propriété doit être vraie, et laisser tomber tous les autres ?
    Pour a et b strictement positifs, f(a+b) est différent de f(a)+f(b), donc f n'est pas additive. Cette fonction ne vérifie pas l'énoncé.
    Mais il faut tout lire. Il n'a jamais prétendu qu'elle vérifiait l'énoncé, c'était juste une réponse spécifique à un message de Penelope.

  22. #18
    yat

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par matthias
    Mais il faut tout lire. Il n'a jamais prétendu qu'elle vérifiait l'énoncé, c'était juste une réponse spécifique à un message de Penelope.
    Comme si je postais sans avoir lu ce qui précède !

    J'ai bien vu qu'il est précisé pour tout couple a,b dont la somme est nulle...
    ...ça n'empèche que pour moi ça ne répond pas à la question : Pénélope montre qu'en cas de discontinuité, on aboutit à un résultat contraire à la définition de la fonction. En réponse, ericc donne pour contre exemple une fonction qui est contraire à la définition de la fonction Il est ou, le truc qui m'échappe ?

  23. Publicité
  24. #19
    Penelope20k

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    en fait le probleme partait de la

    Si la fonction n'est pas continue, je ne pourrai pas passer à la limite de ma somme de rationnels ?

    en fait je voit pas pourquoi , apres avoir demontrer que pour tout rationel
    on a

    f(x * rationel) = rationel * f(x)

    tu ne peut pas conclure que

    f(x * inifité de rationel) = infiité de rationel * f(x)



    si tu poses pi = somme (0->n) An*10^-n , avec a0=3 ,a1=1, a2 = 4 etc

    t'auras bien f(pi*x) = f ( 3*x + 0.1*x + 0.04 *x + ...)

    = f(3*x) + f(0.1*x) + ... (par definition)

    = 3*f(x) + 0.1 * f(x) +.... = f(x) [Somme] = f(x)*pi

    et en generalisant

  25. #20
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par yat
    Comme si je postais sans avoir lu ce qui précède !
    Mes excuses, mais t'énerves pas

    Citation Envoyé par yat
    J'ai bien vu qu'il est précisé pour tout couple a,b dont la somme est nulle...
    ...ça n'empèche que pour moi ça ne répond pas à la question : Pénélope montre qu'en cas de discontinuité, on aboutit à un résultat contraire à la définition de la fonction. En réponse, ericc donne pour contre exemple une fonction qui est contraire à la définition de la fonction Il est ou, le truc qui m'échappe ?
    Il a juste montré que l'implication:
    f discontinue en x0 => f(x0) différent de f(a+b) = f(a) + f(b) pour a+b=x0
    est fausse
    En tous cas formulée dans ces termes et en utilisant juste l'hypothèse discontinue ne x0.

  26. #21
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par Penelope20k
    en fait je voit pas pourquoi , apres avoir demontrer que pour tout rationel
    on a

    f(x * rationel) = rationel * f(x)

    tu ne peut pas conclure que

    f(x * inifité de rationel) = infiité de rationel * f(x)
    Parce que tu ne peux pas passer d'une somme finie à une somme infinie aussi facilement. La somme infinie est en fait la limite d'une suite, et en faisant ce que tu fais tu supposes implicitement que si an -> a alors f(an) -> f(a) et là tu utilises la continuité.

  27. #22
    GuYem

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Euh en fait quelqu'un a un réponse à apporter : l'application sera-t-elle linéraire ou pas ?

    Ce serait plus simples pour éventuellement chercher une démonstration ou un contre exemple selon le cas.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  28. #23
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Citation Envoyé par GuYem
    Euh en fait quelqu'un a un réponse à apporter : l'application sera-t-elle linéraire ou pas ?
    Non pas nécessairement.

  29. #24
    GuYem

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Tu as un contre exemple alors ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  30. Publicité
  31. #25
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Pas un contre-exemple explicite.
    Tu considères R comme un Q espace vectoriel.
    Tu prends (xi) une base de R
    Tu construits un endomorphisme de la manière suivante:
    f(xi0) = 1 et f(xi) = 0 pour i <> i0
    f induit un endomorphisme du groupe additif R non hométhétique.

  32. #26
    GuYem

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Tu vas dire que je cherche la petite bète mais je ne vois pas pourquoi il ne laisse pas sortir les scalaires réels celui-là.

    Faut dire que moi et les bases de R sur Q, ça fait deux
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  33. #27
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Le corps de base c'est Q, donc les seuls scalaires sont les rationnels.

  34. #28
    GuYem

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    On s'est mal compris : on est bien en train de chercher une fonction de R dans R qui soit additive mais non linéaire, ie qui ne laisse pas sortir les scalaires réels ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  35. #29
    matthias

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    En gros pourquoi n'est-elle pas homothétique ?
    Parce qu'elle est non nulle mais envoie des réels non nuls sur 0.

  36. #30
    GuYem

    Re : Fonction additive ou linéaire ?

    Ah oui ça y est je suis convaincu, merci.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

Page 1 sur 2 1 DernièreDernière

Discussions similaires

  1. [Analyse] Continuité d'une fonction linéaire
    Par indian58 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 14/05/2007, 10h11
  2. Maximisation d'une fonction non-linéaire
    Par Gnouf dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 20/09/2006, 15h17
  3. Trichromie Synthèse Additive
    Par isozv dans le forum Physique
    Réponses: 5
    Dernier message: 13/08/2006, 16h10
  4. fonction linéaire et affine
    Par scholasticus dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 26/04/2006, 17h50
  5. Regression non-linéaire d'une fonction discrète
    Par Evil.Saien dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 15/12/2004, 14h37