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à cause du mauvais affichage du latex, je vous envoie sur le site [url]http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=317703&t=317703[\url] où j'ai aussi posté le problème.
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Bonjour,
j'ai un problème assez simple à poser mais je pense qu'il n'a pas de solution en algèbre linéaire. Et j'aimerais
avoir des idées ou des algorithmes pour le résoudre.
Je travaille avec des signaux à temps discret (des vecteurs horizontaux)
Mon problème est le suivant:
Un vecteur [TEX] \underline{m}[\TEX] de taille [TEX] L[\TEX], de norme unité, est utilisé pour créer un vecteur [TEX] \underline{r}[\TEX] de
taille [TEX] L+R[\TEX] de la façon suivante :
[TEX] \underline{r}[\TEX] est la somme pondérée de [TEX] \underline{m}[\TEX] et de sa version translatée de [TEX] R[\TEX] échantillons,
soit:
[TEX] \underline{r}[t] = \left\{ \begin{array}{l} c_1 \cdot \underline{m}[t] \mbox{ si } t < R \\ c_1 \cdot
\underline{m}[t] + c_2 \cdot \underline{m}[t-R] \mbox{ si } R \le t \le L \\c_2\cdot \underline{m}[t-R] \mbox{ si
} L < t \\ \end{array} \right. [\TEX]
Je veux retrouver [TEX] \underline{m}[\TEX] à partir de la seule connaissance de [TEX] \underline{r}[\TEX] et des tailles [TEX] L[\TEX] et [TEX]
R[\TEX].
Où j'en suis dans le problème:
J'étais parti sur la piste suivante: minimiser le critère d'erreur quadratique [TEX] \arg
\min_{\underline{m},\underline {c}} \Vert\underline{r} - \underline{c} \cdot \underline{F}[\underline{m}] \Vert
_2^2[\TEX], où [TEX] \underline{c} = [c1 c2][\TEX] et [TEX] \underline{F}[\underline{m}] = \left[ \begin{array}{l}
T_0[\underline{m}]\\ T_R[\underline{m}] \end{array} \right][\TEX], avec [TEX] T_\tau[\TEX] la fonction de translation d'une
paramètre [TEX] \tau[\TEX].
En minimisant par rapport à [TEX] \underline{c}[\TEX], à [TEX] \underline{m}[\TEX] fixé, on arrive à [TEX] \underline{c} =
\underline{r} \cdot \underline{F}^+[\underline{m}] = \underline{r} \cdot \cdot
\underline{F}^T[\underline{m}](\underline{F}[\underline{m}] \cdot \underline{F}^T[\underline{m}])^{-1}[\TEX].
Le critère à minimiser devient, à cet optimum pour [TEX] \underline{c}[\TEX]:
[TEX] \arg \min_{\underline{m}} \Vert r\Vert _2^2 - \Vert\underline{c}\cdot \underline{F}[\underline{m}]\Vert _2^2[\TEX]
soit
[TEX] \arg \max_{\underline{m}} \underline{r} \cdot \underline{F}^T[\underline{m}] (\underline{F}[\underline{m}]
\cdot \underline{F}^T[\underline{m}])^{-1} \cdot \underline{F}[\underline{m}] \cdot \underline{r}^T[\TEX]
Comme [TEX] \underline{F}[\TEX] est une fonction linéaire, elle admet un adjoint et donc [TEX] \underline{r} \cdot
\underline{F}^T[\underline{m}] = \underline{m} \cdot \underline{F}^{*T}[\underline{r}][\TEX].
Si les lignes de [TEX] \underline{F}[\TEX] étaient orthogonales, le résultat est direct: [TEX] \underline{m}[\TEX] est un vecteur
propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice [TEX] \underline{F}^{*T}[\underline{r}] \cdot
\underline{F}^{*}[\underline{r}][\TEX].
Or ce n'est pas le cas, et on peut écrire le critère comme [TEX] \arg \max_{\underline{m}} \underline{m} \cdot
\underline{F}^{*T}[\underline{r}] \cdot (\underline{F}[\underline{m}] \cdot \underline{F}^T[\underline{m}])^{-1}
\cdot \underline{F}^*[\underline{r}] \cdot \underline{m}^T[\TEX], mais il reste toujours la matrice inverse, au
milieu, qui dépend de [TEX] \underline{m}[\TEX]. J'ai essayé d'initialiser [TEX] \underline{m}[\TEX] aléatoirement, de fixer [TEX]
(\underline{F}[\underline{m}] \cdot \underline{F}^T[\underline{m}])^{-1}[\TEX], et de mettre à jour [TEX] \underline{m}[\TEX],
et on réitère, mais ça ne converge pas vers l'optimum.
Une autre piste était d'orthogonaliser [TEX] \underline{F}[\underline{m}][\TEX], pour donner [TEX]
\underline{G}[\underline{m}][\TEX]. Il s'agit alors de résoudre:
[TEX] \arg \max_{\underline{m}} \underline{r} \cdot\underline{G}^T[\underline{m}] \cdot \underline{G}[\underline{m}]
\cdot \underline{r}^T[\TEX].
Le problème est que [TEX] \underline{G}[\underline{m}][\TEX] n'est pas linéaire, donc pas d'ajoint, donc pas de résolution
par les valeurs propres.
Merci beaucoup si vous avez une idée sur:
- l'existence d'une solution analytique
- une façon de converger vers l'optimum.
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Envoyé par Gnouf 
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