Terminal S Suites: encadrer un irrationnel par deux rationels

[invite2e145040]

bonjour a tous !
niveau: terminal S spé maths
Voila il y a un exercice que je n'arrive pas du tout a rediger .
Voici l'exercice:

on definit deux suites u et v par Uo=3, V0=5 et pour tout entier naturel n,
U_{n+1} ={2U_{n}* V_{n}}/{U_{n}+V_{n}}

et V_{n+1} ={U_{n}+V_{n}}/{2}

1) montrer que les termes des suite U et V sont strictement positifs

2) On pose W_n =V_n - U_n , montrer que pour tout entier naturels n

{0} plus petit que {W_{n+1}} pluspetit que{{1/}{2} *W_n}

(j'ai deja calculer V_{n+1} - U_{n+1}={(V_{n} - U_{n})^2}/{2{U_{n}+V_{n}}} et j'ai remarquer que {(V_{n} - U_{n})}/{U_{n}+V_{n}}}= 1 - {( 2U_{n}}/{U_{n}+V_{n}} )

3) demonter que les suites u et v sont adjacentes

4) l'aide de la suite (U_n V_n) determiner la limite commune des suites u etv
(la limite est racine de {15})

merci beaucoup a ceux ou celles qui porteront de l'interet pour mon execrcice en esperant que la presentation est conforme au règles imposés.
(désoler pour les fautes d'orthographes)

desoler mais je ne sais coment faire pour ecrire avec des signes mathématiques!
-----

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Un petit commentaire rapide.
D'un coté, à chaque étape, tu fais la moyenne harmonique, et de l'autre tu fais la moyenne arithmétique. Les inégalités classiques de convexité te permettent de déduire que les 2 suites sont adjacentes et convergent vers la même limite.
Ensuite, pourquoi cette limite est racine de 15, je ne sais pas. Je subodore que u_n^2, v_n^2 ou u_n v_n est indépendant de n.

__
rvz

[invite2e145040]

merci mais j'ai pas tout compris

[invite6b1e2c2e]

Ok, je détaille un peu.

Tu as que 1/u_(n+1) = 1/2 ( 1/u_n +1/v_n). En fait, c'est donc la moyenne harmonique de u_n et de v_n.
L'autre, v_(n+1) , c'est juste la moyenne arithmétique de u_n et de v_n. Fais un dessin et tu verras qu'au moins géométriquement, la convergence est claire et que la distance |v_n - u_n| est au moins divisée par 2 à chaque fois. Donc les suites étant bornées, si tu arrives à prouver que l'une est monotone, alors elle va converger et l'autre aussi. Le fait qu'elles soient toutes les deux monotones est accessoire : Ca vient d'une inégalité toujours vraie entre la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique.

Pour le dernier point, j'avais lu en travers l'énoncé, on a u_n v_n = cst.

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e145040]

ok merci beaucoup pour ton aide