encadrement de l'aire par deux suites.

[invite33d8be82]

salut a tous. j'ai un problème je suis bloqué à partir de la question 2, donc j'aurais besoin de votre aide s'il vous plait, je mets ci-dessous tout car peut être que le début pourrai être utile.

le but de cet exercice est de déterminer l'aire de la partie délimité par les droite d'équation x=0 et x=1, l'axe des abscisse et la courbe représentative de la fonction carrée.

1. résultats préliminaire.
a) montrer par récurrence que : 1+3+5+..+(2n-1)= n².
c'est fait j’ai réussi ^^.

b) monter par récurrence que : 1²+2²+..+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6 (j'ai réussi )

voila la parti ou je bloque :

2. encadrement de l'aire par deux suite.
a) justifier que l'aire est encadrées par 0 et 1.

b) découpons l'intervalle [0,1] en deux parties égales. soit A1 et A2 les points d'abscisse 0,5 et 1 sur l'axe des abscisse; les points B₁,B₂, B₃ de cordonnées ( 0.5,f(1)), (0.5,f(0.5)) et
(1,f(0.5)) et les points C1 et C2 les points de cordonnées (0.5,f(1)), (1,f(1)).

i. par quels rectangles(éventuellement vides) peut on minorer l'aire? Posons a₁ la somme des aires de ces rectangles, et calculer a₁.

ii. Par quels rectangles peut on majorer l’aire? Posons b₁ la somme des aires de ces rectangles, et calculer b₁.

c) Découpons cette fois-ci l’intervalle [0;1] en 4 parties égales.

i. tracer les 4 rectangles permettant de minorer l’aire recherchée. Posons a₂ la somme des ces aires. Justifier par un argument graphique que a₂ est plus grand que a₁.

ii. tracer les 4 rectangles permettant de majorer l’aire recherchée. Posons b₂ la somme de ces aires. Justifier par un argument graphique que b₂ est plus petite que b₁.

d) dans le cadre général on découpe l’intervalle en 2ⁿ parties et on définit de manière similaire an et bn . Géométriquement, il est clair que (a_n) est croissante et (b_n) est décroissante. On va montrer que ces suites sont adjacentes.

i. monter que sur l’intervalle [ ( k/ 2ⁿ ) ; (k+1/2ⁿ )], la différence d’aire entre les deux rectangle encadrant la courbe est :
(2k+1)/(8ⁿ )

ii. En déduire la valeur de b_n -a_n , puis que ces deux suite sont adjacentes et donc convergentes vers la même limite. Quelle est cette limite ?.

3. Calcul de l’aire.
La suite (a_n) converge vers l’aire de la courbe. Calculer an en fonction de n puis en déduire l’aire recherchée.


je vous remerci pour l'aide ue vous m'apporté
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[invite4b9cdbca]

Pour la 2/,
l'aire est supérieure à zéro, ça c'est évident (une surface est une mesure positive)
l'aire est inférieure à 1, alors là, par exemple, si tu prends la fonction f(x)=1 que peux tu dire de x² quand x est compris entre 0 et 1?
Que peux tu en déduire pour l'aire que tu cherches et l'aire compriseentre les droites d'équation : x=0, x=1, y=1, y=0 ?

[invite33d8be82]

quand X et compris entre 0 et 1, X² est positif et croissant. ainsi l'aire est compris entre 0 et 1??

[invite33d8be82]

svp pouvais m'aider pour la 2bi svp merci je comprend pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Non ce que je voulais dire, c'est qu'entre 0 et 1, 0<x²<1 (ou égal).
Donc tu peux en déduire que l'aire décrite par la courbe d'équation y=x² entre 0 et 1 sera plus petite que l'aire de la courbe décrite par y=1.

[invite33d8be82]

quoi, je te comprend pas on parle pas de courbe y=1 dans mon enoncé, mais ce qui me preoccupe le plus c'est la suite (2b et le reste) car je pige pas vraiment ce que sa veut dire.

[invite4b9cdbca]

Le principe de ton pmier encadrement, c'est juste de comparer la surface décrite par ta parabole (x²) avec une surface d'aire 1, tu me suis ?
Et la plus simple srface d'aire 1 que tu puisses trouver, c'est le carré de coté 1.
Et le carré de coté 1 peut être visualisé comme la surface entre y=1,y=0,x=1,x=0 es-tu d'accord ?
C'est vrai que l'équation y=1 n'est pas donné dans l'énoncé, mais ici on l'introduit pour les besoins de la démo.
Pour la 2b, je te suggère de faire un dessin et de chercher les rectangles en questions.

Remarque ; un rectangle d'aire nulle (un côté de longueur nulle) reste un rectangle.

[invite33d8be82]

ok jte remerci, je l'ai fait le dessin avec la courbe X² mais je voit pas de rectangle qui peut minorer une aire ou qui puisse la majorer non plus.

[invite4b9cdbca]

Voilà je t'ai fait un schéma, j'espère que ce sera mieux :

[invite33d8be82]

ok c'est gentil pour le schema mais apres comment on peut calculer l'air a₁ et b₁?

[invite33d8be82]

ok donc mon schema que j'avait fait ete bon ^^, docn les rectangle qui peuvent minorer l'aire sont sur ton schema les 2 petit rectangle ? et les rectangle qui peut majorer l'aire et le grand rectangle ? c'est cela

[invite4b9cdbca]

En fait pour la minoration il y a un rectangle (celui hachuré, en dessous de la courbe) et un "rectangle de hauteur nulle".
Et il faut bien comprendre que le grand rectangle a une hauteur 1 et non 0.75. son aire est alors de 0.75*0.5=0.375

[invite33d8be82]

un rectangle de hauteur nulle( c'est pas celui qui coupe la courbe)
?; tu dit que le grand rectangle et de hauteur 1 donc son aire et 1*0.5=0.5 plutot ?

[invite4b9cdbca]

Oui pardon j'ai tapé trop vite, le rectagle est de hauteur 1 ett donc son aire est 0.5

Pour l'autre en fai tu imagines que tu coupes ton intervalle [0;1] en deux, et que sur chaque intervalle, tu prennes un rectangle dont l'aire est clairement inférieure à celle sous ta courbe. entre [0;0.5] un rectangle d'aire nulle est le seul qui te le permet sans démo.

[invite33d8be82]

ok donc a₁ = 0.125 (aire minorer)et b₁= 0.5(aire majorer)

[invite4b9cdbca]

ok donc a₁ = 0.125 (aire minorer)et b₁= 0.5(aire majorer)

Et non !
L'aire majorée, c'est l'aire du grand rectangle + l'aire du petit rectangle de gauche !
Faut pas l'oublier ce petit bout là

[invite33d8be82]

ok donc a1 = 0.125 et b1 = 0.5 +0.125 = 0.625^^

[invite4b9cdbca]

Exactement.
Maintenant tu essaies d'appliquer la même chose à un cas où tu sépares ton intervalle en plus de 2 parties... Mais le raisonnement est le même !
(PS : si tu n'y arrives pas, essaie de me montrer le schéma que tu as fait)
Courage !

[invite33d8be82]

ba je coupe on intervalle en 4 partie egale (cf.2c) mais je pourrai pa te montrer mon schema car mon scanner et HS.

[invite4b9cdbca]

Lol oki.
Bah, ça me suffira si tu me donnes l'aire majorante et l'aire minorante

[invite33d8be82]

ok mais deja sa me fait un truc bizar et mon a₂ et plus petite que a₁ alors qu'on devrait trouver l'inverse ^^. c'est mal partie surtout qu'il faut le justifier avec un argument graphique ^^

[invite4b9cdbca]

Est ce que ton schéma ressemble à ça ?
Il faut bien penser à prendre tous les rectangles...

[invite33d8be82]

nn mon graph c 'est pas trop sa ^^

[invite33d8be82]

d'apres ton graph je voit pas les 4 rectangle minorant l'aire ( c'est moin qui na pas le fibre mathematique jpense)

[invite4b9cdbca]

Ben en théorie tu en vois 3 (les trois sous la courbe que j'ai hachurés)
Le "4ème",toujours selon le même raisonnement qu'avant, est situé sous la courbe entre 0 et 0.25...
Et il est d'aire nulle.

[invite33d8be82]

a ok donc la nouvelle aire et l'adition des 3 que l'on voit

[invite4b9cdbca]

Exactement
Pour l'aire majorante, c'est toujours le même principe qu'avant : c'est l'aire des quatres rectangles que j'ai hachuré dans l'autre sens (attention à leur hauteur, les quatres rectangles vont tous jusqu'à l'axe des abscisses).

[invite33d8be82]

pour b2 je trouve 0.387 mais a1 sa me donne un truc inferieu a ,a2

[invite4b9cdbca]

Je pense qe tu as fait une erreur de calcul.
Pour information, l'aire majorante devrait être 0.53125 et l'aire minorante 0.21875.

[invite33d8be82]

d'accord donc la je suis pas en accord avec tes resultat , sa m'etonne pas . et je verrai même pas ou est mon erreur.