Calcule d'une limite

[invitefe919f6f]

Bonjour,
Quelle est le résultat de cette limite (avec explication s'il vous plait)

Lim x²sin(1/x)
_{x tend vers 0}

Merci
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[Snowey]

Hum, on a un peu l'impression d'être une calculatrice, là, mais bon.
Je pense que savoir que suffit pour trouver
L'idée étant que les fortes oscillations sont "comprimées" par le carré ^^

Mais ce qui est (un peu plus) intéressant, c'est de remarquer que le prolongement par continuité de cette fonction est continu, dérivable de dérivée non continue. M'enfin.

[dalfred]

une reponse assez febrile

[dalfred]

Je pencherai plutot pour faire une derivee d'abord et tu auras du: -sin(1/x)/x² donc tu peux etudier quand ca s'annule

soit: sin(1/x)=0 c'est a dire (1/x)=k pi soit x=1/k pi et donc tu peux avoir dans un premier tps le tableau de variation de ta fonction si tu veux pour le fun et apres je te laisse chercher j'ai pas le droit d'en dire plus d'apres la federation de l'aide sans exageration dans l aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Je pencherai plutot pour faire une derivee d'abord

Bonsoir,

Pour répondre à la question posée, je ne vois pas pourquoi tu veux dériver ?

On a : et comme , on a immédiatement la réponse !

[dalfred]

Sauf qu'on a pas le droit de dire ca directement, il faut prouver dans ce cas la continuité en zero

[PlaneteF]

Sauf qu'on a pas le droit de dire ca directement, il faut prouver dans ce cas la continuité en zero

Je ne te suis toujours pas, ... dans le cas présent on utilise le "théorème des gendarmes" que l'on peut appliquer directement pour trouver la limite sans regarder la continuité (voir lien ci-dessous).

--> Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._des_gendarmes

[Snowey]

Ahahah !

Bon, là, je le dis quand même:
fébrile: qui a de la fièvre, et par glissement, nerveux, excité ...
Et je peux certifier que ma température est tout à fait correcte. Peut être vouliez vous dire stérile ?
Il ne faut pas croire, le vocabulaire, ça aide même quand on parle de maths ... en fait ça aide dès qu'on parle, ou, ici, quand on écrit ! Pour dire des choses intelligentes en tout cas.

Non, sérieusement, comment peut on trouver la limite en dérivant cette fonction ?
Remarquons au passage que la dérivée est la limite du taux d'accroissement, donc c'est aller chercher loin pour une limite qui va permettre de montrer qu'elle est prolongeable par continuité !
Quand à l'argument qui consiste à dire qu'on ne peux pas utiliser le théorème des gendarmes parce qu'elle n'est pas continue (prolongeable serait plus correct, car une fonction non définie en un point y est rarement continue) ... c'est justement grâce à cet encadrement qu'on va pouvoir dire qu'elle admet une limite épointée finie en 0, car il énonce l'existence d'une limite (chose pas toujours évidente à prouver sans ce type de théorèmes).
Bon admettons.
On dérive, et ... ? ...

Enfin, mon argument (fébrile ? stérile ?) n'est pas si idiot que ça puisqu'il permet de justifier l'encadrement qu'à donné PlaneteF. Et surtout, j'ai donné une indication "qualitative" pour expliquer ce qui allait se produire: les oscillations sont écrasées. En un mot, j'ai donné des pistes, sans, il est vrai, servir la réponse sur un plateau !
Après c'est une question de point de vue.

Fébrilement,

Snowey

PS: ah, j'allais oublier

[breukin]

Quelle est le résultat de cette limite ?

Une limite, si elle existe, étant un nombre, la question n'a aucun sens : quel est le résultat de ce nombre ?

[albanxiii]

Bonjour,

Sauf qu'on a pas le droit de dire ca directement, il faut prouver dans ce cas la continuité en zero

En effet, n'est pas continue en 0, et donc en toute rigueur la fonction de départ l'est pas non plus en tant que produit, etc...

Mais avez-vous entendu parler du concept de prolongement par continuité ? C'est de ça dont vous voulez parler, non ? Dans ce cas, comment faites-vous si vous n'utlisez pas le théorème des gendarmes pour trouver la valeur du prolongement en 0 ?

Bonne journée.

[invitefe919f6f]

Merci à vous tous pour vos réponses, spécialement PlanetF et Snowey
PS: Snowey: pouvez vous m'éclaircir sur l'idée des oscillations écrasées?
merci encore

[breukin]

C'est un dessin qui permet d'éclaircir (dessin de sin 1/x pour voir les oscillations écrasées en se rapprochant de 0 et dessin de x² sin 1/x pour voir que ça tend malgré tout vers 0).