Bonsoir,
J'ai un exercice sur une matrice A nilpotente d'indice n tel que transposée(A)*A=A*transposée(A ) et il faut montrer que A=0.
Je ne vois pas trop comment partir?
Je n'arrive pas à grand chose d'interessant :/
Je pense qu'il faudrait partir de (transposée(A)*A)^n Mais je n'en tire rien de bon si ce n'est que (transposée(A)*A)^n =0
Quelqu'un aurait un indice, une piste pour démarrer?
Merci bien
Bonsoir,
Je suppose même si tu ne l'as pas précisé que tu travailles dans un espace vectoriel réel.
Si tu sais ce qu'est un endomorphisme normal, le résultat est immédiat.
Sinon tu peux procéder ainsi :
-est une matrice symétrique réelle. Elle est donc diagonalisable.
- Tu as montré que
L'indication de Tiky permet de déduire que
Après on remarque que les termes diagonaux de
Ou bien, ce qui revient au même , mais de façon plus élégante, on a que
En effet, seul les matrices nul convienne dans le cors des réels. Merci,
Mais de que résultat parle tu quand tu dis que c'est immédiat?
J'ai beau chercher dans mon cours, je vois pas quel propriété me permettrai de conclure immédiatement?
Tiky me semble avoir parlé un peu vite. S'il est vrai qu'en endomorphisme normal d'un C-ev est diagonalisable sur C, ce n'est pas forcément vrai sur un R-ev (prendre une rotation d'angle non multiple de pi, elle n'est pas diagonalisable sur R)
Merci beaucoup pour "l'astuce" de prendre les termes diagonales de B!
Et alors ? Je n'ai jamais dit qu'il fallait la diagonaliser dans R. Il suffit de la diagonaliser dans C. Dans déduire qu'elle est semblable à une matrice nulle dans C. Or si deux matrices réelles sont semblables avec une matrice de passage dans C, elles le sont dans R.
Le dernier argument est même inutile. Il suffit juste de la diagonaliser dans C.
Vous avez raison. Désolé d'avoir mal compris votre message initial.
@Danduncan : Ce n'est pas une astuce... Je t'ai expliqué d'où cela vient: du produit scalaire (A|B)=Tr(tAB) !
Il est important de comprendre d'où cela vient, les maths ne sont pas juste un ensemble d'astuces.
Une dernière petite question, on peut passer par un autre argument que de dire qu'une matrice symétrique est diagonalisable?
Je demande car on a pas vu cette proposition en cours.
Attention, cela n'est vrai que sur R ! Quel est l'énoncé complet? Si tu te places sur C, tu peux par exemple montrer que la seule valeur de A est 0.
C'est sur R
