suite et densite [0,1]

[inviteb6da3dd6]

bonjour,
je bloque sur une question de mon exercice de maths. en fait precedemment nous avons montre que pour une suite divergente vers +inf et qui verifiait u(n+1) - un ->0 quand n tend vers + inf , {F(un);n appartenant a lN} etait dense dans [0,1] ou F est la partie fractionnaire. Mais cette fois ci on me demande demontrer que pour une suite conergente alors {F(un);n appartenant a lN} ne peut pas etre dense dans [0,1].
je suis juste parti sur ma definition d'une suite convergente pour obtenir qu'il existe un N tel qu n >= N => lun - lim l < epsilone.
et enfin l lim l - epsilone < Un < epsilone + l lim l
donc au final je bloque.
une petite aide?
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[invite705d0470]

On suppose que .
(On a donc par traduction immédiate que .)
On doit, je pense, différencier deux cas: l relatif ou l non relatif.

Si , il suffit de poser .
On a alors, par la définition de la limite, l'existence d'un rang à partir duquel (conséquence directe du choix du epsilon).
On a donc avec .

Donc: .
La dernière inclusion est stricte, ce qui permet de conclure quant à l'impossibilité d'être dense

Je n'ai pas encore regardé pour le cas , mais à formalisme près, je pense qu'une démonstration similaire marche très bien (mais cette fois-ci c'est un intérieur de l'intervalle que ne sera plus atteint pas f(u) à partir d'un certain rang).

Peut être peut-on faire plus simple, mais j'ai essayé d'être un peu rigoureux pour le coup

[Seirios]

Bonjour,

On peut également remarquer que la suite est stationnaire à 0 ou , donc converge vers ou . La suite appartient donc à partir d'un certain rang à un sous-intervalle (stricte) de [0,1]. Le complémentaire contient lui-même un sous-intervalle, et un nombre fini de point ne peut pas y être dense.