2 questions

[invite705d0470]

Bonjour, je ne sais pas vraiment si celà est autorisé par "le règlement", mais j'aimerais poser deux questions assez différentes dans le même post.

1_ je cherche à montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de dans .
Bon, j'ai une idée, qui consiste à utiliser le résultat "si f est continue et injective sur un intervalle I, alors elle est strictement monotone sur cet intervalle".
Du coup, par l'absurde, si on suppose qu'une telle bijection f existe, en particulier elle est strictement monotone. Or l'image d'un intervalle par une fonction disons strictement croissante est de la forme , strictement inclus dans . Donc f n'est pas surjective de l'intervalle dans R: contradiction.
Est-ce correct ?

2_ Cette fois-ci, difficulté technique (sur un classique des fonctions convexes ?)
Je cherche à montrer qu'une fonction continue sur I intervalle qui vérifie est convexe sur I.
Bon, je sais qu'il faut (qu'on peut ) faire une récurrence en raisonnant sur les dyadiques, la continuité permettra alors de conclure sur les réels de I.
J'aimerais donc montrer que, si x,y sont des éléments de I, si , alors .
Je pense que je dois faire la récurrence sur n (l'hypothèse initiale semble bien s'y prêter). Ou sur p et n ? (jamais vu ça avant )
En admettant que j'établi ma récurrence sur n, je ne parviens pas à initialiser le résultat :/
J'espère que vous pourrez m'aider à comprendre proprement cette récurrence. (comme par exemple le fait que l'intervalle de définition de p dépend de n, même si je pense que ce n'est pas très grave).

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Après, l'hérédité se construit grâce à cette égalité , à laquelle on applique successivement l'hypothèse initiale et lH de récurrence (possible puisque p est inférieur à la puissance n de 2).
Une fois le résultat prouvé, on a que
Les dyadiques étant denses dans R, . Par continuité de f, et en passant à la limite dans l'inégalité précédente on a le résultat sur l'intervalle (0,1), ce qui est la définition d'une fonction convexe sur I

Merci beaucoup,

Snowey
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[invite5817f340]

Je pense que tu peux faire plus simple si tu veux démontrer par absurde qu'il n'existe aucune bijection de en supposant que si une telle bijection existe alors cette fonction est par hypothèse strictement croissante et continue, qu'on peut supposer croissante sans perte de généralité, donc l'image de l'intervalle est donnée par .Or donc est non bijective (car si est bijective il faut avoir ).
j’espère que j'ai été à la hauteur

[invite5817f340]

pour la deuxième ceci c'est la définition de la convexité

soit une fonction
on dit que est convexe si et on a

donc la réponse est claire à mon avis (j’espère que j'ai été à la hauteur et que je ne me suis pas trompé car ça fait 8 ans que je n'ai pas revu cette définition )

[invite705d0470]

Merci, mais ...

Pour la 1, pas de problème, vous avez dit exactement la même chose que moi

Mais pour la seconde, le problème vient du fait que la convexité n'est pas une hypothèse, mais ce que je veux démontrer :/

Merci quand même !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Je suis prêt à prendre toute piste proposée !

[invite76543456789]

Salut!
Pour la 2 utilise la densité des dyadiques!

[invite705d0470]

Hm... je cherche, mais je ne vois pas comment l'utiliser dans l'initialisation
Vous êtes sûr que cette propriété serve deux fois dans la preuve ?

[invite20765e36]

Pour avoir la convexité, on commence par montrer que

pour toute famille de points x_1,...., x_n


On peut commencer par le faire pour et raisonner par récurrence sur k . C'est clair pour k=0 et pour k=1. Ensuite on regarde pour k+1, ie : pour une famille x_1, ... , x_{2n}. En on procède en remarquant que


Ensuite, on n quelconque, on prend un m entier tel que .
On remarque que

et en posant
et pour

On applique ce qui précéde avec la famille y_1, .... y_{2^m } et cela donne ce que qu'on voulait.

[invite20765e36]

ensuite, on prend une famille de rationnels tels que et on veut montrer que

On prend des u_i dans Z tels que et que de sorte que



pour une famille y_i bien choisit. On conclut par ce qui précéde et par densité de Q dans R.