congruence / morphisme quotient ....

[invitec1942a00]

Bonjour,
Voici mon problème :

Pour tout entier naturel N et tout n , on note [n]_N la classe de n modulo N.

1 - soient (u,v) ² vérifiant uN + vM = 1. Soit (x,y) /N x /M. On choisit n et m dans vérifiant [n]_N=x et [m]_M=y. Montrer que l'élément [vMn + uNm]_NM ne dépend pas du choix de n et m. On le note f(x,y)

2 - Vérifier que f est un morphisme d'anneaux. Montrer que c'est un isomorphisme. Quel est son isomorphisme réciproque.

3 - Retrouver les résultats de la question précédente en partant de l'application x ----> à (n,m) associe vMn + uNm et en utilisant le théorème de factorisation.

Merci pour votre aide !
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Je ne vois pas de difficulté majeure dans cet exercice ; il suffit de faire posément ce qui est demandé.

[invitec1942a00]

^^ la blague ! ce qui est facile pour certains, peut être difficile pour d'autres...

Pour la 1 - je suis partie de : uN + vM = 1
on a donc uN 1 [M] et vM 1 [N]
après j'ai multiplié par m : uNm m [M]
par n : vMn n [N]
mais après je suis bloqué...

[invite57a1e779]

Ce n'est pas la bonne approche : la question porte sur la dépendance vis à vis du choix de n et m.

Tu supposes donc que tu choisis
– d'une part n et n' tels que : [n]_N=[n']_N=x,
– d'autre part m et m' tels que : [m]_M=[m']_M=y.

Tu obtiens [vMn+uNm]_NM pour le premier choix, et [vMn'+uNm']_NM pour le second choix.
La question est donc de prouver que : [vMn + uNm]_NM=[vMn' + uNm']_NM, c'est-à-dire que des choix différents conduisent à un même résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1942a00]

et si je fais :
uN 1 [M]
vM 0 [M]
et
uN 0 [N]
vM 1 [N]

puis en multipliant par n et m :
uNm m [M]
vMn 0 [M]
et
uNm 0 [N]
vMn n [N]

puis en additionnant :
uNm + vMn n [N] et uNm + vMn m [M], mais après ?

[invitec1942a00]

ah ok
je vais essayer (c'est pas gagné)
merci

[invitec1942a00]

bon bah, voilà où j'en suis :
[vMn + uNm]_NM = [vMn' + uNm']_NM
[vMn + uNm]_NM - [vMn' + uNm']_NM = 0
[vMn + uNm - vMn' - uNm']_NM = 0
[vM(n-n') + uN(m-m')]_NM = 0
dans Z/MNZ on a [0]=0 et [kMN]_MN (les multiples de MN) = 0
mais ca m'aide pas non plus
je ne sais pas comment aboutir à n=n' et m=m'
(j'ai du mal avec la notation [.....]_X)

[invite57a1e779]

je ne sais pas comment aboutir à n=n' et m=m'

On ne peut pas te demander d'aboutir à n=n' et m=m' parce que les représentants dans Z, des éléments x de Z/NZ et de y de Z/MZ ne sont pas uniques.

On te demande de prouver que, si n n' [N] et m m' [M], alors vMn+uNm vMn'+uNm' [NM].