Probabilité

[invite4e8f9468]

Bonjour, Je ne trouve pas d'inspiration pour le problème suivant.
Merci d'avance à tout ceux qui pourront m'aider

On souhaite estimer un paramètre p inconnu ; on effectue pour cela des mesures avec deux appareils différents
dont les résultats sont les valeurs observées de deux variables aléatoires X et Y.
On suppose que :

X = p + U
Y = p + V

où U et V sont des bruits de mesures, ie des variables aléatoires de moyenne nulle et de variances r²(U) et r²(V)
spécifiées par les constructeurs des appareils.

Trouver Z de variance miniamle de la forme Z = a.X + b.Y telle que l'éspérence E(Z)=p, et interpréter.
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[inviteea028771]

Il faut utiliser la linéarité de l'espérance et de la variance (enfin la variance n'est pas linéaire, mais presque, y'a un carré qui se balade)

L'espérance donne :

E(Z) = E( a(p+U)+b(p+V) ) = a (E(p) +E(U) )+b(E(p)+E(V)) = (a+b) p

D'où a+b = 1

La variance donne :

Var(Z) = Var( a(p+U)+b(p+V) ) = a²Var(U) + b²Var(V) + 2abCov(U,V)

On peut considérer que U et V sont indépendantes (ce sont deux machines différentes). Alors

Var(Z) = a² r²(U) + b² r²(V)

Reste à minimiser cette fonction avec la contrainte a+b=1

f(x) = x² r²(U) + (1-x)² r²(V) => f'(x) = 2x r²(U) + (2x-2) r²(V)

et f'(x) = 0 <=> x = r²(V)/(r²(V)+r²(U))

On a donc obtenu la valeur de a pour laquelle Z a une variance minimale

[invite4e8f9468]

Merci beaucoup