Ordinal et ensemble

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans un document de topologie, l'auteur fait mention de l'espace topologique constitué de l'ensemble muni de la topologie associée à son ordre.

Je ne suis pas vraiment à l'aise avec les ordinaux, quelqu'un pourrait-il me décrire cet ensemble ou au moins m'en donner les grandes lignes ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite57a1e779]

Au départ, , c'est muni de la relation d'ordre usuelle. Le changement de notation sert uniquement à préciser que l'on s'intéresse uniquement à la structure d'ordinal de cet ensemble, et pas à d'autres propriétés (arithmétiques par exemple).

Ensuite , c'est deux copies successives de : les éléments de la deuxième copie sont plus grands que ceux de la première copie; tu peux le voir par exemple comme l'ensemble muni de la relation d'ordre où les entiers pairs précèdent les entiers impairs :


Ensuite , c'est trois copies successives de .

Puis on définit , ,... pour arriver à : c'est copies successives de .
Du point de vue pratique, c'est muni de l'ordre lexicographique:


On continue... on définit , ,... jusqu'à : c'est copies successives de ; du point de vue pratique, c'est muni de l'ordre lexicographique.

On poursuit la construction jusqu'à obtenir qui est muni de l'ordre lexicographique.

Ensuite, on place copies de pour obtenir .

Enfin, on met un élément maximum au bout de l'ensemble obtenu pour construire .

[Seirios]

Merci, cela me paraît très clair