propriétés générales des nombres

[invite184bbffd]

Bonjour à tous,

Mes questions sont simples, enfin je crois :

Je sais que les nombres entiers naturels ont deux propriétés fondamentales : l'ordinalité et la cardinalité.
Je sais aussi ce que signifient ces propriétés.

Existe-t-il une/des autre(s) propriété(s) qui soi(en)t vraies (à l'instar des deux autres citées ici) pour tous les entiers naturels ? Si oui, quelle(s) est/sont elle(s) ?

L'invariance du nombre est-elle l'une de ces propriété, ou est-ce que cette notion ne correspond qu'à une entreprise de réflexion piagétienne, et n'est pas une notion proprement mathématique ?

Je vous prie de ne pas entrer dans termes trop barbares je n'ai qu'un humble niveau de terminale S appris en autodidacte, mais dans le forum collège/lycée on m'a invité à poster mon message ici.

Dans l'espoir de trouver mon bonheur (il n'y qu'en répondant à mes questions que vous me permettrez peut-être de postuler en thèse), et de ne vous faire pas perdre votre temps.

Cordialement.
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[Médiat]

Bonjour,

Qu'appelez-vous ordinalité et cardinalité en tant que propriété des nombres entiers naturels ?
Que voulez-vous dire par invariance du nombre ?
Sinon, comme propriété commune à tous les nombres entiers : ils ont tous un successeur et un seul.

[invite184bbffd]

Bonjour,

Tout d'abord merci pour votre réponse :

Le fait de n'avoir qu'un successeur et un seul (et idem pour le prédécesseur) à l'air de correspondre à ce que j'appelle l'ordinalité : ils sont soumis à la relation d'ordre (ce qui n'est pas le cas des complexes par exemple). La cardinalité en réfère au fait que chaque entier naturel correspond à une quantité précise : ainsi si l'on compte jusque 5, 5 est la quantité correspondante à la série comptée, et si l'on ne respecte pas la relation d'ordre quand on compte (ex : 1 5 4 2 3), la quantité est toujours 5 : la relation d'ordre et la cardinalité sont donc (enfin c'est ainsi que je l'ai compris) les propriétés fondamentales pour l'utilisation correcte des nombres entiers naturels. En ce qui concerne l'invariance, là je suis dans le flou, mais justement c'était ma question : n'est-elle que la résultante du fait que si l'on respecte l'ordre, on a accès à la cardinalité, ou est-ce une propriété en soi ?

Enfin, existe-t-il d'autres propriétés "célèbres" que celles qui viennent d'être exposées ?

Bien à vous.

[Médiat]

Votre vocabulaire n'est pas mathématique, par exemple, je ne sais pas ce que veut dire "un nombre entier est soumis à la relation d'ordre".

Pour information tous les nombres entiers nturels n'ont pas de prédécesseur.

Quant aux propriétés telles que vous les définissez, on peut dire que tous les théorèmes de l'arithmétique sont des propriétés des nombres entiers...

Est-ce que vos questions portent stricto-sensu sur l'arithmétique, ou pensez-vous à l'ensemble des ordinaux finis dans la théorie des ensembles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite184bbffd]

Je conçois tout à fait que mon vocabulaire ne soit pas "mathématique", et je viens ici justement parce que je suis très limité en mathématiques, je m'en excuse croyez-le.

si a > b et b > c alors a > c pour a,b,c appartiennent aux nombres entiers naturels, c'est ainsi que je me figure la relation d'ordre.

Pour ce qui est des "propriétés" que je recherche, je ne pense pas particulièrement à l'arithmétique au sens où l'une des propriétés de 45 serait par exemple d'être la somme des 9 premiers nombres, où plus généralement, qu'un nombre entier naturel soit décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers, sans tenir compte des permutations.

Je ne connais pas particulièrement la théorie des ensembles (j'ai un peu "lu" à ce sujet), mais je crains que ce ne soit pas là que je trouverai mes réponses. En effet, je m'intéresse aux propriétés perceptibles par les êtres humains, et que ceux-ci respectent même s'ils n'ont aucune notion en mathématiques du fait de la "réalité" des nombres entiers naturels. J'ai peur de ne pas être clair, mais tous les humains qui comptent respectent en fait la relation d'ordre sans pour autant savoir forcément qu'elle existe et peut être écrite comme je l'ai fait, ils la respectent parce que s'ils ne la respectaient pas ils compteraient pour aboutir à de fausses conclusions la relation de cause à effet n'est pas importante ici, bornons, je vous prie au constat qui est fait). Parmi les nombres correspondant à une réalité "humaine" je ne vois que les entiers naturels, d'où mon intérêt pour cet ensemble, ma question est donc de savoir si au niveau "réalité" outre l'ordre et la quantité, les nombres entiers naturels en réfèrent et sont inter-reliés à d'autres "évidences" que je n'aurai entrevu (par exemple la relation d'équivalence est vraie pour tous les réels), existe-t-il d'autres propriétés ?

Mais si vous ne comprenez pas mon propos, c'est forcément que la faute vient de mon ignorance (voire de mon idiotie, c'est possible au moins en maths !), et je vous prierai dans ce cas de ne pas perdre votre temps. Je ne suis même pas sûr qu'il existe une réponse particulière à ma question.

Merci à vous pour le temps accordé.

Cordialement.

[invite184bbffd]

Permettez-moi une question : 1 est-il le seul entier naturel à n'avoir pas de prédécesseur ou suis-je complètement à côté de la plaque ?

Cordialement.

[Médiat]

Permettez-moi une question : 1 est-il le seul entier naturel à n'avoir pas de prédécesseur ou suis-je complètement à côté de la plaque ?

Cordialement.

En fait c'est 0.

Sinon, n'étant pas platonicien, la notion de réalité des nombres m'est totalement étrangère ; je laisse un platonicien vous répondre.

[invite184bbffd]

Merci pour votre réponse, vous m'apprenez déjà que 0 est un entier (je croyais que c'était un "rien" !), et qu'il est naturel, je croyais qu'il ne pouvait l'être puisqu'il "n'était pas".

[invite184bbffd]

Je comprends bien que vous soyez "étranger", toutefois je vous répondrai tout de même que les nombres servent à en référer au réel, ils y parviennent plus ou moins, mais ils "discrétisent" notamment des quantités continues, et nous permettent de mesurer ces quantités.

En outre, je ne suis pas platonicien non plus ! (c'est même un "ennemi" théorique).

Bonne continuation et merci pour vos réponses.

[Amanuensis]

Merci pour votre réponse, vous m'apprenez déjà que 0 est un entier (je croyais que c'était un "rien" !), et qu'il est naturel, je croyais qu'il ne pouvait l'être puisqu'il "n'était pas".

Je pense que la discussion est pour le moment entre deux personnes n'utilisant pas le même langage, même si superficiellement cela semble le cas.

Vos questions n'appellent pas des réponses mathématiques au sens moderne, mais plutôt ressortissant au sens commun ou même au vocabulaire élémentaire.

Vous avez raison de distinguer cardinal et ordinal, mais vous l'exposez dans des termes qui ne sont pas les mieux adaptés. En français, un, deux, etc. (et zéro) dénotent des cardinaux, des quantités d'objets semblables, par exemple des billes dans un sac. Les ordinaux sont dénotés par premier, deuxième, troisième, quatrième, etc., et réfèrent à un ordre et non pas une quantité. Les deux notions sont très différentes, ce pourquoi le langage utilise des mots différents.

Dans les ordinaux, "premier" n'a pas de prédécesseur.

Mais le prédécesseur d'un cardinal, c'est ce qu'on obtient en enlevant un objet si c'est possible. Si on a une seule bille dans un sac, alors il est bien possible d'enlever une bille : on obtient un sac vide. Le cardinal d'un sac vide a bien un sens, et c'est cela qu'on dénote zéro, et c'est bien le prédécesseur du cardinal un. Le zéro nombre est apparu tard, sous l'influence des maths formalisées, simplement parce que la négation ("il n'y a [rien]"), ou des mots comme "néant", suffisaient (1). On pourrait tout aussi bien dire que le cardinal précédant le cardinal un est le cardinal "néant".

Jouons avec le vocabulaire : il n'y a "rien" avant le premier <=> le cardinal des ordinaux précédant "premier" est 0.

Une partie importante de la confusion est la (mauvaise ?) habitude, venant de l'influence des notations arithmétiques, d'associer l'ordinal "premier" avec la notation 1, qui est celle du cardinal un. La "bonne" relation serait d'associer 0 avec premier, 1 avec deuxième, etc. Avec cette approche, on a bien correspondance entre le cardinal sans prédécesseur (0) et l'ordinal sans prédécesseur (premier). On trouve rarement, mais quand même de temps en temps, cette association : par exemple certains langages de programmation peuvent être cités qui indicent "0" le premier élément d'un "tableau" (les cases d'un "tableau" de n cases sont indicées de 0 à n-1). (Un autre domaine amusant est celui des étages et de ce qui est écrit sur les boutons d'ascenseur, selon les pays... Au UK, le dernier--ordinal-- étage d'un "seven-floor building" (cardinal) est le "sixth floor" (ordinal).)

Il me semble que bien distinguer ordinal et cardinal, en se limitant au langage et sans trop s'occuper de maths, devrait permettre de progresser dans vos réflexions.


(1) Notons que le français présente une grosse difficulté avec l'affaiblissement de la marque "ne" pour la négation. Le mot "rien" signifiait "quelque chose", de même que "personne" signifiait "quelqu'un", "aucun" signifiait "un certain", etc., et ont pris maintenant une valeur négative ou ambivalente ; cela fait un peu bizarre (pour moi) d'utiliser "rien" pour le zéro. L'anglais (par exemple) ne présente pas ce problème, nothing, none, nobody, nil, nought, ne sont pas ambigus.

[invite184bbffd]

Bonjour,

Merci pour ces éclaircies, et pour la justesse du propos.

je vous demande donc : ordre et cardinalité étant désormais "bien" définis, voyez-vous une autre "propriété" (1) de ce type des entiers naturels ?

(1) je vois que ce mot n'est pas adapté, mais je ne sais lequel employer à la place

Cordialement.

[Amanuensis]

je vous demande donc : ordre et cardinalité étant désormais "bien" définis, voyez-vous une autre "propriété" (1) de ce type des entiers naturels ?

Au sens d'une troisième "sémantique" de la notion de nombre naturel ?

Non, la différentiation entre cardinaux et ordinaux est couramment citée (en linguistique, en "psychologie des nombres", je ne parle pas là d'arithmétique ou de maths formelles), mais je ne me rappelle pas avoir rencontré de texte parlant de trois "catégories".

[Médiat]

Je sais que les nombres entiers naturels ont deux propriétés fondamentales : l'ordinalité et la cardinalité.

L'ordinalité et la cardinalité, tels que vous semblez le utiliser, ne sont pas des propriétés des nombres mais des propriétés que les nombres peuvent mesurer (ce qui est, du coup plus proche des mathématiques (théorie des ensembles) que votre formulation ne semblait le faire croire).

[invite184bbffd]

Ok, merci pour cette réponse.