Dimension infini

[invite5ad2022d]

Bonjour,

Il ne s'agit pas là d'une question sur un exercice, mais d'une demande d'éclaircissement.
Qu'est ce qu'un espace infini exactement ? Je ne conçoit pas que cela puisse exister. Qu'est-ce qu'on met dedans ? Il est impossible d'y mettre des vecteurs, non ? Les applications linéaires s'appliquent sur des vecteurs, donc ça ne marche pas non plus ...
A quoi ça sert la dimension infini ??? comment on s'en sert ???
Un espace fini a forcément une norme ... et un espace de dimension infini ???

Je ne comprends pas. Serait-il possible de m'éclaircir sur ce point svp ?

Merci d'avance.
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[invite06b993d0]

salut,

si tu regardes la définition axiomatique d'un espace vectoriel, rien ne dit qu'il doit être de dimension finie, donc au moins ça n'est pas interdit.

ensuite pour montrer que ça existe, il n'y a qu'à prendre un exemple: celui des fonctions de R dans R, avec comme 0 la fonction nulle, comme addition la somme des fonctions point par point, pour corps des scalaires R et pour multiplication externe la loi (x,f)-> g tel que g(t)=xf(t). C'est un espace vectoriel et il n'est pas de dimension finie (montre-le). Donc on dit qu'il est de dimension infinie.

[invite5ad2022d]

Je veux bien essayer de le montrer mais je ne suis pas très forte pour les démo.

Posons f appartient à E ( l'espace défini au dessus ) d'une certaine dimension n. On peut multiplier f à l'infini et ainsi augmenter le degré du polynome de base à l'infini. Donc cet espace est de dim infini, noté R(symbol infini) [X].

Est ce que ça marche comme ça ?

[inviteea028771]

Même sans aller jusqu'aux fonctions :
Les polynômes et les suites à valeur réelles sont deux espaces vectoriels de dimension infinie.

Dans le cas des polynômes, les monômes sont tous linéairement indépendants les uns des autres :
(Ça veut dire que toute combinaison linéaire finie de monômes qui est égale à zéro a tout ces termes à zéro)
Soient des entiers tous différents, alors :


En effet P(x) est un polynôme de degré , donc il a au plus racines si il est non nul. Or toute valeur de x est racine, donc P est le polynôme nul, donc tout les lambda sont nuls et tout les monômes sont linéairement indépendants

De plus il y a une infinité de monômes différents, donc la dimension de l'espace des polynômes n'est pas de dimension finie.


Pour les suites à valeurs réelles, on peut considérer les suites qui sont nulles pour toutes les valeurs sauf pour la n-ième qui vaut 1, et montrer que toute combinaison linéaire finie de ces suites qui est nulle a tout ses termes à zéro

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06b993d0]

Est ce que ça marche comme ça ?

non.

une façon de montrer que cet espace vectoriel n'est pas de dimension finie (c'est le sens de l'expression "dimension infinie"), c'est de considérer un ensemble fini de fonctions de R dans R et montrer qu'il existe une autre fonction qui n'appartient pas au sous-espace vectoriel qu'elles engendrent.

[mik16]

si il existait une 5ème dimension si on dit que la 4ème c'est le temps,quelle serait elle?
merci d'avance