Bonjour,
Quelqu'un pourrait'il m'éclairer: (Je vous en serais fort reconnaissant)
On pose E un e.v de dimension fini, et F et N deux sous e.v de E
L'exercice propose de déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une application linéaire f de E dans E vérifiant
f(E)=F et ker(f)=N.
Pour faire une rédaction propre je pense (dites moi si je me trompe) qu'il faut faire la démonstration en deux temps: la première implication =>
puis la réciproque <=.
Supposons donc d'abord qu'il existe une application linéaire f de E dans E vérifiant f(E)=F et ker(f)=N.
traitons les cas particuliers: Dans le cas ou N est l'espace nul. Alors ker(f)=0 et f injective donc bijective et f(E)=E
Dans le cas ou F est l'espace nul alors f(E)=0 et ker(f)=E et l'application est l'application nul.
Supposons F et N différent de l'espace nul alors d'après le théorème du rang:
dim E=dim Im(f)+dim ker(f)=dim F+dim N. Du coup il est nécessaire que E soit en somme direct avec F et N.
Est ce que pour l'instant ces conclusions constituent des conditions nécessaire. est ce que cela répond à la question.
Merci beaucoup.
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