Déterminant n en cosinus et récurrence

[invitef17530e3]

Bonjour,je suis en PCSI et j'ai un exercice sur les déterminant que j'ai un peu de mal à mettre en place.
Je sais qu'il faudra effectuer une récurence,ce n'est pas le problème
J'aimerai juste avoir de l'aide quand à la démarche pour trouver
Soit θ ∈ R. Calculer le determinant d’ordre n :

∆n =
| cosθ 1 0 ............... (0) |
| 1 2cos(θ) 1 ............. 0 |
| 0 1 2cos(θ) ................ |
| .............................. .... |
| .............................. ...1 |
| 0 ................. 1 2cos(x) | (n)

merci
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Développe le déterminant par rapport à la première ligne.

[invitef17530e3]

Par rapport à la première ligne
L1 <- L1+L2+L3...Ln

Puis
sur chaque colonne
Cn <- Cn- 2 C1

je peux alors sortir cosθ + 1
J'ai l'impression de revenir au point de départ

[invitef17530e3]

Il me semble que je me suis trompé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

∆n =
| cosθ 1 0 ............... (0) |
| 1 2cos(θ) 1 ............. 0 |
| 0 1 2cos(θ) ................ |
| .............................. .... |
| .............................. ...1 |
| 0 ................. 1 2cos(x) | (n)

Un petit truc : le premier terme du déterminant est-il bien cosθ ? n'est-ce pas 2cos(θ) comme sur le reste de la diagonale ? et le dernier terme est-il bien 2cos(x), et pas 2cos(θ) ?

[invitef17530e3]

Le premier terme du déterminant est bien cosθ et le dernier terme est bien 2cos(θ).
C'est moi qui ai un probleme avec mon clavier

∆n =
| cosθ 1 0 ............... (0) |
| 1 2cos(θ) 1 ............. 0 |
| 0 1 2cos(θ) ................ |
| .............................. .... |
| .............................. ...1 |
| 0 ................. 1 2cos(θ) | (n)

[invite57a1e779]

Dans ces conditions, il vaut mieux développer par rapport à la dernière ligne :

, où et sont les mineurs respectifs des deux seuls termes non nuls de la dernière ligne : et 1.

[invitef17530e3]

si j'ai bien compris

delta n = 2cos(θ). delta n-1 - 1. delta n-2

[invite57a1e779]

Oui, ce qui permet de conclure par récurrence après calcul des deux premiers déterminants.

[invitef17530e3]

Merci.

Je montre que
(Dn) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique r² +cos .θr + 1 = 0 (racine e^−iθ et e^iθ)
ensuite
je résolve l'équation pour différentes valeurs de θ.

Et j'obtiens le résultat demandé.