Séries

[invitec7ed54fc]

Bonjour,

Dans un exercice j'ai montré que la suite (p_n) converge vers une limite non nulle si et seulement si la série u_n converge.

avec
(a_n) une suite numérique indexée à partir de 1 et dont les termes sont tous non nuls.
(p_n) étant a_n
et u_n 0

Quelle est la justification nécessaire pour montrer que si la série u_n² converge alors (p_n) converge et sa limite est non nulle?

De plus je n'arrive pas à montrer que si u_n² diverge alors (p_n) converge et sa limite est nulle.

Quelqu'un pourrait me donner des indications?

Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Qui est u_n ?

[invitec7ed54fc]

désolé j'ai oublié de préciser que u_n = a_n - 1 pour tout n supérieur ou égal à 1.

[invite57a1e779]

Il suffit de faire un développement limité de ln(a_n) suivant les puissances de u_n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7ed54fc]

J'ai montré que si ln a_n converge alors (p_n) converge et sa limite est non nulle

mais je n'arrive pas à voir le rapport avec u_n²=(a_n-1)²

[invite57a1e779]

ln(a_n)=ln(1+u_n)=... par développement limité de la forme ln(1+x).

[invitec7ed54fc]

ln(a_n) = u_n - u_n²/2

donc u_n²=(u_n-ln(a_n))/2 Je dois en faire quoi?

merci de ton aide

[invite57a1e779]

Dans un exercice j'ai montré que la suite (p_n) converge vers une limite non nulle si et seulement si la série u_n converge.

Quelle est la justification nécessaire pour montrer que si la série u_n² converge alors (p_n) converge et sa limite est non nulle?

Avec le premier résultat cité, il faut donc prouver que : si la série u_n² converge alors la série u_n converge.
Or c'est visiblement faux (u_n=1/n par exemple).

Par conséquent : ou bien l'énoncé donné est complet, mais faux, ou bien l'énoncé donné est incomplet, et il faut donc nous communiquer l'énoncé exact avec toutes les hypothèses.

[invitec7ed54fc]

au temps pour moi, j'ai encore oublié de préciser qu'on suppose que la série u_n converge...

[invite57a1e779]

M'enfin !

Si la série u_n converge, on sait déjà que la suite (p_n) converge et que sa limite est non nulle (premier résultat que tu cites) !!!

[invitec7ed54fc]

Oui justement ça me semblait trop simple, il suffit donc que je cite ce résultat ?

Et pour la 2eme question?

Merci !

[invite57a1e779]

Et pour la 2eme question?

Si la série en u_n² diverge, la série en u_n peut très bien converger, par exemple u_n=(-1)ⁿ/n^1/2, auquel cas la suite (p_n) converge vers une limite non nulle, toujours d'après le premier résultat.

Ce qui me conforte dans mon opinion que l'énoncé que tu nous as donné n'est pas correct...