Probas, Loi composées

[invitecc85e0d4]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'un peu (beaucoup ^^ ) d'aide sur cet exercice de probabilités.

Soient et deux v.a indépendantes, définies sur le même espace et suivant la même loi géométrique de paramètre p, 0 < p < 1. On note q = 1 - p. On définit les v.a. U et V, en posant pour tout :

U() = min( ) et V() = max( ) - min( ) .

1) Soient k 1 et l 0.
Calculer P[{ = k} { = k + l}] et P[{ = k + l} { = k}].
En distinguant les cas l=0 et l 1, déterminer P[{U = k} {V = l }].

2) Montrer que U suit une loi géométrique, dont on donnera le paramètre.
Déterminer la loi de V et vérifier que pour l 1, P[{V = l} | {V 1}] = .
Les v.a. U et V sont-elles indépendantes?

Pour la 1) :
Comme et sont indépendantes, on peut écrire :
P[{ = k} { = k + l}] = P[{ = k}] * P[{ = k + l}] = * ?
De même pour l'autre :
P[{ = k + l} { = k}] = P[{ = k + l}] * P[{ = k}] = * ?

Mais je ne vois pas en quoi cela m'aide pour ce qui est demandé ensuite ..

Pour la 2) :
là je ne vois pas comment faire .. Si vous pouviez me mettre sur la piste, ça serait très gentil.

Merci d'avance pour vos réponses!
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[invite57a1e779]

Mais je ne vois pas en quoi cela m'aide pour ce qui est demandé ensuite ..

D'autre part, il me semble qu'il n'y a pas vraiment de p', mais que c'est partout p, puisque les deux variables aléatoires suivent la même loi géométrique.

[invitecc85e0d4]

Cela revient-il à :

P[U = k] = ( P[ = k] * P[ = k] ) + ( ) + (

= () + ( ) + ( )

=() + 2*( )

=() + 2*( )

[invite57a1e779]

Cela revient-il à :

P[U = k] = ( P[ = k] * P[ = k] ) + ( ) + (

Oui, et tout le reste n'est que calculs sordides.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecc85e0d4]

Merci pour votre aide.

J'ai trouvé :

Donc U suit une loi géométrique de paramètre ?

Mais pour la question 1), comment déterminer , je ne vois pas comment faire ...

[invite57a1e779]

Ce n'est pas très sain de trouver un probabilité négative.

[invitecc85e0d4]

Oups .. oui pardon, une erreur de ma part ^^' .. Il n'y a pas de - !!

[invite57a1e779]

Pour , il suffit de revenir aux définitions de et de .

Pour : .

Pour : .

[invitecc85e0d4]

Tout parait vraiment si simple avec la reponse ... >_>'

En esperant ne pas dire de betise, il faut donc faire la reunion de ces 2 cas? Mais cela reviendrait à calculer P(U=k) ....

Hm .. Il faudrait alors les laisser séparé? ...