opérateur de projection

[invitec2174952]

Bonjour à vous.

J'ai un problème qui ne me parait pas difficile, mais je bloque.
Soit un opérateur de projection de E dans E, où E est un espace vectoriel de dimension quelconque.
Autrement dit, il existe F un sous espace vectoriel tel que projette les vecteurs de E sur F (pas forcément orthogonalement).

Comment montrer que est continue?

(on sait que est linéaire, donc il suffit de montrer qu'il existe C>0 tel que ).
Mais je ne vois pas comment arriver au résultat.

Merci par avance.
Bien cordialement

Enigman
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[Seirios]

Bonjour,

Une application linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé !

[Seirios]

Finalement je ne suis pas sûr de la réciproque, mais en tout cas l'implication nous indique qu'une projection n'est pas toujours continue.

[invite76543456789]

Salut!
La reciproque est fausse, la derivation des polynomes sur [0,1] pour la norme sup est non continue, son noyau est l'espace des constantes, qui est fermé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je suis pratiquement certain qu'une application linéaire (autre qu'une forme linéaire) peut être discontinue mais de noyau fermé, mais je ne retrouve pas mes notes sur le sujet pour donner un contre-exemple.

[invitec2174952]

Finalement je ne suis pas sûr de la réciproque, mais en tout cas l'implication nous indique qu'une projection n'est pas toujours continue.

ce qui expliquerait que je n'arrive pas à le montrer
Par contre, si la projection est orthogonal, on montre que l'application projection est 1-lipschitzienne, donc continue il me semble. Merci en tout cas pour la réponse rapide !

[Seirios]

La reciproque est fausse, la derivation des polynomes sur [0,1] pour la norme sup est non continue, son noyau est l'espace des constantes, qui est fermé.

Merci pour le contre-exemple, je prends bonne note