espace euclidien

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour cet exo:

dans l'espace vectoriel R^4 muni de sa structure euclidienne canonique on considère le sous espace vectoriel F des vecteurs X=(x,y,z,t) tel que:
x+y+z+t=0
x+2y+3z+4t=0

a) déterminer une base orthogonal de F

avec le système d'équation j'ai trouvé qu'une base de F est B={(1,-2,1,0),(2,-3,0,1)}
je pose a1=(1,-2,1,0) et a2=(2,-3,0,1)

en utilisant gram-schmidt, je trouve une base orthogonale B'={a1,a2-(4/3)a1}

b)Soit P la projection orthogonal sur F
démontrer que pour tout X dans R^4,

déjà à quoi ressemble la projection orthogonale P sur F?
F est l'intersection de 2 hyperplans mais P?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Dans R⁴, de dimension 4, on définit un sous-espace F par intersection de deux hyperplans.

Tu trouves d'abord une base (a₁,a₂) de F à partir de laquelle tu détermines une base orthogonale (U,V).

Comme F est de dimension 2, son orthogonal F^⊥ est également de dimension 2, et ce sont deux sous-espaces supplémentaires dans R⁴ : tout vecteur X se décompose de façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de F^⊥.

La projection orthogonale sur F consiste à déterminer la composante P(X) de X sur F, c'est-à-dire que tu dois avoir : X=P(X)+Y avec P(X) dans F et Y orthogonal à F. Il n'est donc pas besoin de connaître explicitement l'orthogonal F^⊥ de F.

[invite371ae0af]

mais comment trouver explicitement P(X)?

j'ai essayé d'écrire X=a1U+a2V
mais il faut connaitre Y?

[invite57a1e779]

Comme P(X) appartient à F dont une base est (U,V), on cherche P(X) sous la forme :P(X)=aU+bV.
On a donc X=P(X)+Y avec Y=X-aU-bV.
Mais Y appartient à l'orthogonal F[sup]⊥[:sup] de F, donc les produits scalaires (Y|U) et (Y|V) sont nuls, ce qui fournit deux équations pour le calcul de a et b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

d'accord merci