Qu'est-ce que la position relative entre 2 droites ?

[invite5fe45f1e]

Salut!

J'ai un exercice avec l'equation de 2 droites. Je dois trouver la position relatives des droites, la distance entre elles et le cas échéant, leur point d'intersection.

Mais qu'est-ce que la position relative entre 2 droites ?

Merci
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[invite68f2fb17]

Il faut trouver si elles sont soit sécantes, soit distinctes soit confondues

[invite5fe45f1e]

Donc "position relative" cela veux dire soit sécantes, soit distinctes soit confondues ?

sécante : qui se coupe
confondu : l'une sur l'autre
distincte : c'est quoi ? Car j'ai pas trouvé d'explication sur le net. Merci!

[invite68f2fb17]

ça veut dire parallèles

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5fe45f1e]

Merci bien!

[invite5fe45f1e]

J'ai un autre problème On me donne 2 droites et je dois donc dire leur position relative

droite 1 :
x = 7-3k
y = 1 + k
z = 1 - k

droite 2:
x = 5 + t
y = 2 - t
Z = t

k et t sont réel

J'imagine que je dois réussir a avoir une équation du genre x + y + z = ... ? En fait, j'arrive pas a supprimer cette variable k en faisant des substitution. Même ma calculette n'y arrive pas.

Je comprends pas trop quoi faire pour résoudre le problème.

Merci

[invite68f2fb17]

Pour les droites dans l'espace, c'est plus compliqué les positions relatives : http://www.warmaths.fr/MATH/geometr/droitrelati.htm

[invite5fe45f1e]

Merci.

Pourquoi dans les 3 équations (de x, y et z) j'ai des k ? Je dois les substituer pour obtenir une seule équation ? Car je n'y arrive pas je me demande si c'est possible en fait...

Pour la deuxième droite (avec des t) si je substitue j'ai par exemple y = -x + 7, j'ai plus de z...

Ou alors ça veux dire qu'elles sont dans R^2 alors...? Car dans l'exercice y'en a en R^2 et en R^3

[invite68f2fb17]

Essaye d'éliminer les k en remplacer par des x par exemple

[invitef50036e9]

D'abord pour savoir leur position relative met les sous forme cartésienne. Sous la forme paramétrique et même cartésienne, tu vois bien que les vecteurs directeurs ne sont pas proportionnels donc tes droites ne sont ni parallèles distinctes, ni parallèles confondues. Pour savoir si elles sont sécantes ou gauches, tu simplifie tes équations cartésienne sous la forme d'une intersection de 2 plans ( système 2x3). Ensuite tu créé un nouveau système en assemblant tes 2 autres ( tu auras un système 4x3). Il te suffira de choisir 3 équations , tu résous le système 3x3 et ensuite tu injectes tes solutions dans la 4 ème équation. Si ça correspond tu as ton intersection, si ça ne correspond pas, tes droites sont gauches. Et voilà

[invitef50036e9]

Oublie pas que l'équation cartésienne d'une droite te permet d'enlever tes paramètres k

[invitef50036e9]

Excuse moi, faut faire autrement:
tu résous le système: 7-3k=5+t
1+k=2-t

tu trouves que t= 1/2 et que k=1/2. tu injectes tes solutions dans la 3 ème équation (1-k=t) pour vérifier que 1-(1/2)=1/2.
Tes droites sont donc sécantes et pour trouver le point d'intersection tu fais:
x= 7-3/2
y=1+1/2
z=1-1/2
Ca veut dire que S= {(5.5, 1.5, 0.5)}
Et voilà