Position relative de plans.

[invite890931c6]

Bonjour,

En pleine étude du produit scalaire dans l'espace je tombe sur un exercice :

étudiez la position relative de ces plans.

La question me parait dénué de sens, j'en parle à mon professeur. Celui me dit qu'il faut simplement dire si un plan P et sécant ou non avec un plan Q. Bon l'exercice me parait alors trivial. Je lui redemande.

- "en faite Monsieur je croyais qu'il fallait déterminer l'équation de la droite d'intersection des deux plans dans le cas ou ils se coupent."

-"Dans l'espace on ne peut pas déterminer l'équation des droites d'intersection entre deux plans ! Au pire si (d) est la droite d'intersection de P et de Q et que deux points A et B appartiennent à (d) alors on répond simplement la droite [AB] est l'intersection de P et de Q."

-"Bon, merci..." (je ne voulais pas m'attarder encore plus.)

Alors voila je voulais savoir si ces assertions étaient vrai. Voici l'énoncé de l'exercice :

Soit les équations de plans :

() :

() :

() :

1)pour m = 2 (bon facile cas trivial).

2) pour m différent de 2.

alors moi comment je voyais le problème :

Déjà faire les plans deux à deux.

on résout avec (1;1;-1) vecteur normal de et (m;2;-2) vecteur normal de

on résout alors :



et on trouve soit la droite d'intersection de et non ?

Mais je comprend qu'en 3D x=0 peut aussi être un plan...

Merci de votre aide.
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[invitea84d96f1]

Salut,
Dans l'espace 3D (x,y,z), une (seule) équation qui relie les 3 coordonnées x,y,z de point correspond à une surface (espace 2D).
Une courbe (une ligne, une droite,…) ne peut pas y être définie par une seule équation mais par deux équations (ça correspond bien qu'en géométrie une courbe est l'intersection de 2 surfaces)
Les positions relatives entre 2 plans sont
- plans sécants,
- plans parallèles,
- plan confondus.

[invitea84d96f1]

... suite
Soient
(p) le 1er membre de l'équation d'un plan ax +by +cz +d = 0 , et
(p') le 1er membre de l'équation d'un deuxième plan a'x +b'y +c'z +d' =0

Ecrire une combinaison linéaire m(p) +n(p') = 0 avec m et n de R, c'est écrire l'équation d'un autre plan passant par l'intersection des 2 premiers plans (faisceau de plans)
Ta presque dernière équation est celle d'un troisième plan (m=1 et n=-1) : plan x=0

[invite890931c6]

Merci de me répondre !

Avec 3 plans x+y-z=1 ; 2x-y+z=1 ; x-2y+z=5 par exemple, peut-on étudier la position de ces trois plans en même temps, en particulier si P, Q, et R se coupent en une même droite ?

2 plans se coupent bien en une droite ? (si ils se coupent bien sûr) donc quand on trouve la combinaison m(p)+n(p') = 0 on trouve en faite l'équation du plan contenant la droite d'intersection de P et de P' ? c'est ça ou pas du tout ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea84d96f1]

(re)salut,
1) Méthode algébrique :
Tu as 3 équations linéaires (degré 1) à 3 inconnues x,y,z. Si la déterminant du système est (simplement) nul, tu auras une indétermination… , géométriquement ça correspond au cas où trois plans se coupent en une même droite au lieu d'en un point (une solution unique)
2) Analytiquement,
Tu poses m(p) +(p') = 0 si tu es sûr que le 3e plan n'est pas confondu au 2e plan (n=1).
Tu développes puis tu identifies avec le (p"), si tu réussis 3 plans forment un faisceau, si tu ne réussis pas, 3 plans se coupent en un point.