Liberté d'une famille

[invite2ec0a62b]

Bonsoir tout le monde,
voilà l'énoncé d'un exo où je bloque :
Soient E un K-ev de dimension n, f un endomorphisme de E nilpotent d'indice p, soit f un sev de E stable par f, et la restriction de f à F. On pose q=dimF
1° Montrer qu'il existe tel que
2° Montrer que est une famille libre.
3°Vérifier que est nilpotent. Calculer .
4° Montrer que .
C'est à cette dernière question que je rencontre des difficultés. Il suffit de montrer que cette famille est libre puisqu'elle contient q éléments.
Mais je n'arrive pas à le montrer.
J'y vais par la méthode classiqe:
soient tels que . Je n'arrive pas à trouver combien de fois je dois composer par f, pour qu'à chaque fois, je trouve que l'un des scalaires est nul...
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[invitebd6ee490]

Comment montres-tu la question 1? Je croyais que c'était par définition d'un endomorphisme nilpotent.

[invite2ec0a62b]

La première question est facile. Elle est résolue par la définition de l'indice de nilpotence.