Liberté d'une famille de fonction

[inviteebb4cd82]

Bonjour,
Je suis perplexe devant cet exercice :
Dans l'espace vectoriel des fonctions R dans R, la famille (x²,(x-1)²,(x-2)²) est-elle libre ?
Je peux poser :
a(x²) + b(x-1)² + c(x-2)² = 0
Mais impossible de prouver que a=b=c=0, la famille est donc surment liée, mais comment faire pour trouver la relation entre les fonctions pour le montrer ?
Merci d'avance.
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[God's Breath]

Il suffit d'écrire qu'une fonction polynomiale de R dans R est nulle si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls pour obtenir un magnifique système dont la solution unique est a=b=c=0.

[invite0d212215]

Un autre possibilité est d'utiliser les limites. L'équation que tu as étant valable pour tout x dans R, tu la prend par exemple sur R*, tu divise le tout par x² et tu passe à la limite en l'infini ; tu obtiens forcément que a est nul par unicité de la limite. Tu refais ça deux autres fois pour b et c et tu auras ton résultat.