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Théorème de Müntz



  1. #1
    Marquez

    Théorème de Müntz


    ------

    Bonsoir, pour faire le parallèle avec ce fil (que je suis en train de traiter), voici une autre question qui me pose bien des problèmes.

    Il faut prouver que :

    avec et ,

    Un coup de pouce n'est pas refus !
    Merci !

    -----

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  4. #2
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    On a bien sûr démontrer que si alors où G est le déterminant du gramien.

    Donc du coup, ici, .

    Mais j'arrive pas à voir pourquoi c'est un déterminant de Cauchy.

  5. #3
    God's Breath

    Re : Théorème de Müntz

    Quels sont les éléments du déterminant ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #4
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    Ce sont . Oui donc ce sont .
    Donc au final, je trouve :

    Donc celui-ci on va le calculer rapidement avec le déterminant de Cauchy :

    Qui donne ici .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    Par contre, le premier c'est pas tout à fait un déterminant de Cauchy, si ?

    Je peux l'écrire

    Avec :
    si i=n+1
    si i=n+1

    Je suis pas très sûr de mon coup.

  9. #6
    God's Breath

    Re : Théorème de Müntz

    Il suffit de débaptiser , et de le renommer , pour voir que les deux déterminant sont de la même farine, à la taille près.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  11. #7
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    Je pose donc . Dans ce cas, on a :


    Que l'on écrit avec le déterminant de Cauchy :

    Eh maintenant, il faut simplifier :

    C'est ce genre de calcul qui me bloque, par exemple dans la démonstration du déterminant de Cauchy. Pouvez-vous m'aidez ?

  12. #8
    God's Breath

    Re : Théorème de Müntz

    Bonjour,

    On a tout simplement

    Et, pour chacun des quotients obtenus, les termes dont les deux indices et sont inférieurs ou égaux à se simplifient.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #9
    God's Breath

    Re : Théorème de Müntz

    Citation Envoyé par Marquez Voir le message
    Ce sont . Oui donc ce sont .
    Donc au final, je trouve :
    Je viens de m'apercevoir d'une erreur de calcul : .

    Donc on a un déterminant de Gram dont les éléments sont les , avec
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #10
    Kazik

    Re : Théorème de Müntz

    Pour God's Breath :
    Dans le premier quotient, il va rester et le deuxième quotient, il va rester . Je crois qu'il y a confusion non ?

  15. #11
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    Bonsoir, j'ai bien compris le calcul de God's Breath. Mais je ne vois pas comment simplifier plus. Cela revient exactement à mon problème dans la démonstration du déterminant de Cauchy.

    Comment écrire en fonction de ? C'est vraiment ce qui m'a bloqué dans la démonstration du déterminant de Cauchy.

  16. #12
    God's Breath

    Re : Théorème de Müntz

    En reprenant la bonne expression du déterminant, on a puisque .

    Donc .

    Dans chaque quotient, après simplification, il ne subsiste que les termes où apparaît l'indice .

    Dans le premier quotient, la condition fait que seul peut prendre la valeur , donc

    Dans le second quotient il subsitera les termes
    – où seul a la valeur , soit ;
    – où seul a la valeur , soit , c'est le même produit que le précédent ;
    – le terme pour lequel , soit .

    Finalement .

    En regroupant tous ces résultats partiel, on obtient bien la formule voulue.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  18. #13
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    Merci bien.
    On me demande dans la suite de prouver que la suite converge vers 0 si et seulement si la suite diverge vers . Je ne vois pas comment m'y prendre.

  19. #14
    God's Breath

    Re : Théorème de Müntz

    La suite converge vers 0 si, et seulement si, la suite diverge vers !
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  20. #15
    Marquez

    Re : Théorème de Müntz

    Ok ! Donc par le calcul, je trouve :



    On a donc bien l'équivalence tend vers 0 si et seulement si diverge vers .

    J'ai oublié de préciser que la suite était supposée croissante. Alors on envisage deux cas :
    soit converge vers un réel .
    soit diverge vers .

    Dans le cas ou converge vers un réel , il faut prouver que tend vers 0.
    Dans le cas ou diverge vers , il faut prouver que est équivalent à où c est une constante à déterminer.

    Déjà pour le premier cas, je vois pas comment faire l'étude de .

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