Théorème de Müntz

[invite5858781a]

Bonsoir, pour faire le parallèle avec ce fil (que je suis en train de traiter), voici une autre question qui me pose bien des problèmes.

Il faut prouver que :

avec et ,

Un coup de pouce n'est pas refus !
Merci !
-----

[invite5858781a]

On a bien sûr démontrer que si alors où G est le déterminant du gramien.

Donc du coup, ici, .

Mais j'arrive pas à voir pourquoi c'est un déterminant de Cauchy.

[invite57a1e779]

Quels sont les éléments du déterminant ?

[invite5858781a]

Ce sont . Oui donc ce sont .
Donc au final, je trouve :

Donc celui-ci on va le calculer rapidement avec le déterminant de Cauchy :

Qui donne ici .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5858781a]

Par contre, le premier c'est pas tout à fait un déterminant de Cauchy, si ?

Je peux l'écrire

Avec :
si i=n+1
si i=n+1

Je suis pas très sûr de mon coup.

[invite57a1e779]

Il suffit de débaptiser , et de le renommer , pour voir que les deux déterminant sont de la même farine, à la taille près.

[invite5858781a]

Je pose donc . Dans ce cas, on a :


Que l'on écrit avec le déterminant de Cauchy :

Eh maintenant, il faut simplifier :

C'est ce genre de calcul qui me bloque, par exemple dans la démonstration du déterminant de Cauchy. Pouvez-vous m'aidez ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

On a tout simplement

Et, pour chacun des quotients obtenus, les termes dont les deux indices et sont inférieurs ou égaux à se simplifient.

[invite57a1e779]

Ce sont . Oui donc ce sont .
Donc au final, je trouve :

Je viens de m'apercevoir d'une erreur de calcul : .

Donc on a un déterminant de Gram dont les éléments sont les , avec

[invited00ee48c]

Pour God's Breath :
Dans le premier quotient, il va rester et le deuxième quotient, il va rester . Je crois qu'il y a confusion non ?

[invite5858781a]

Bonsoir, j'ai bien compris le calcul de God's Breath. Mais je ne vois pas comment simplifier plus. Cela revient exactement à mon problème dans la démonstration du déterminant de Cauchy.

Comment écrire en fonction de ? C'est vraiment ce qui m'a bloqué dans la démonstration du déterminant de Cauchy.

[invite57a1e779]

En reprenant la bonne expression du déterminant, on a puisque .

Donc .

Dans chaque quotient, après simplification, il ne subsiste que les termes où apparaît l'indice .

Dans le premier quotient, la condition fait que seul peut prendre la valeur , donc

Dans le second quotient il subsitera les termes
– où seul a la valeur , soit ;
– où seul a la valeur , soit , c'est le même produit que le précédent ;
– le terme pour lequel , soit .

Finalement .

En regroupant tous ces résultats partiel, on obtient bien la formule voulue.

[invite5858781a]

Merci bien.
On me demande dans la suite de prouver que la suite converge vers 0 si et seulement si la suite diverge vers . Je ne vois pas comment m'y prendre.

[invite57a1e779]

La suite converge vers 0 si, et seulement si, la suite diverge vers !

[invite5858781a]

Ok ! Donc par le calcul, je trouve :



On a donc bien l'équivalence tend vers 0 si et seulement si diverge vers .

J'ai oublié de préciser que la suite était supposée croissante. Alors on envisage deux cas :
soit converge vers un réel .
soit diverge vers .

Dans le cas ou converge vers un réel , il faut prouver que tend vers 0.
Dans le cas ou diverge vers , il faut prouver que est équivalent à où c est une constante à déterminer.

Déjà pour le premier cas, je vois pas comment faire l'étude de .