Enigme statistique

[kaderben]

Bonjour
Voici un exo qui a fait le tour de quelques forums de maths et personne n’a pu donner une réponse, c’est pour ça je l’ai intitulé : « Enigme statistique » comme si c’en était une !

Voici deux séries statistiques X et Y à valeurs discrètes

X: 1,2,3,4,5
F:0,1;0,3;0,4;0,1;0,1
FCC:0,1;0,4;0,8;0,9;1
FCD:1;0,9;0,6;0,2;0,1
Les deux courbes FCC et FCD se coupent bien à l'ordonnée 0,5 dont l'abscisse est la médiane 3

Y: 1,2,3,4,5
F:0,2;0,1;0,2;0,3;0,2
FCC:0,2;0,3;0,5;0,8;1
FCD:1;0,8;0,7;0,5;0,2
Les deux courbes FCC et FCD ne se coupent pas à l'ordonnée 0,5

Question :Pourquoi la série Y n’obéit pas à la règle ?

Merci pour une explication.
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[invite06b993d0]

je ne vois pas de courbes ici, juste des suites de nombres. Il faut expliquer un peu.

[Amanuensis]

??? Pourquoi dites vous que les courbes se coupent en (3, 0.5) alors que fcc(3)=0.8 et fdd(3)=0.6

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Sinon pour le cas général :

Suffit d'examiner fcc(t)+fcd(t) tels que choisis pour voir où le problème potentiel. C'est égal à 1 sauf aux valeurs de probabilité non nulle, où elle vaut 1+f(t).

Si le croisement tombe sur une valeur de poids nul, il vaudra 1/2, sinon il vaudra (1+f(t))/2.

Si on veut que la médiane soit proprement au croisement et garder des définitions symétriques, faut inclure seulement 1/2 fois la probabilité de la borne (et pas l'intégralité). Ce qui donne ici pour Y

Y: 0,1,2,3,4,5,6
F:0,0;0,2;0,1;0,2;0,3;0,2;0,0
FCC:0,0;0,1;0,25;0,4;0,65;0.9; 1,0
FCD:1,0;0,9;0,75;0,6;0,35;0,1; 0,0

(J'ai ajouté aux bouts des valeurs de proba nulle pour compléter fcc et fdd...)

La somme est alors toujours égale à 1, et le croisement ne peut que être la médiane...

[kaderben]

Bonjour Amanuensis
J'ai tracé les deux courbes FCC et FCD, de Y, et elles se coupent exactement à l'ordonnée 0,5 dont l'abscisse est bien la médiane qui vaut 3,4
Moi c'est du niveau seconde, je n'ai pas compris l'explication: aux valeurs de probabilité non nulle, croisement tombe sur une valeur de poids nul, faut inclure seulement 1/2 fois la probabilité de la borne (et pas l'intégralité) etc...
Dommage que cette explication est du niveau supérieur à la seconde.
Je te remercie pour ta réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Le sous-forum est "Mathématiques du supérieur". Pour une explication niveau seconde d'entrée, il aurait fallu choisir "Mathématiques du collège et du lycée" !

Serait-il possible qu'on voit ces "courbes" ?

(Pour Y la médiane n'est pas unique : car toutes les valeurs entre 3.0 et 4.0 (bornes non incluses) sont telles que prob(Y<x) = 1/2 )

[kaderben]

Bonjour
Ci joint les courbes des FCC et FCD de Y que tu m'as demandées, à partir de tes calculs et le calcul de la médiane en utilisant la colinéarité de vecteurs.
Merci

[Amanuensis]

OK.

Ces courbes ne sont pas les FCC et FCD des lois indiquées si les comprend comme (par exemple) prob(X=1) = 0,1.

Si on prend une loi de probabilité avec des valeurs discrètes (genre prob(Y=1)=0,2, prob(Y=2)=0,1, etc.), la FCC est formée de créneaux, de parties "horizontales", et non de lignes qui joignent les points.

Réciproquement, la FCC montrée serait celle d'une loi continue, (prob(Y=x) = 0,1 dx pour x entre 0 et 1, prob(prob(Y=x) = 0,15 dx pour x entre 1 et 2, etc. Pour ce genre de loi, il n'y a pas de difficulté.

Je que j'avais indiqué était pour une loi discrète, correspondant à ce qu'on pouvait comprendre du premier message.

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Pour revenir au premier message, les courbes FCC et FCD obtenues en joignant les points indiqués 1) ne correspond pas aux courbes pour une loi discrètes, 2) ne peuvent pas être les deux courbes d'une même probabilité continue.

Le 1) parce que les FCC et FDC d'une loi discrète sont formées de segments "horizontaux",

Le 2) parce qu'on a pas FCC(x)+FDC(x)=1 en tous points, ce qui est obligatoire pour une loi continue.

Si le cas de X obéit à la règle, c'est un hasard (mais est-ce le cas ? la médiane ne peut pas être 3). On ne peut pas obtenir correctement, en général, le point correspondant à la médiane par cette méthode.

[kaderben]

Bonjour
Je ne savais pas du tout que les courbes FCC et FCD d'une série à valeurs discretes, se representent par des segments horizontaux.
Ci joint letracé.
Merci

[kaderben]

Bonjour
Je ne savais pas du tout que les courbes FCC et FCD d'une série à valeurs discretes, se representent par des segments horizontaux.
Ci joint le tracé.
Merci

[Amanuensis]

Ci joint letracé.

Oui, c'est ça.

Le petit détail qui reste est où mettre le "point" lors du saut. Vous avez choisi de le mettre "en haut" du saut pour la FCC et en "en bas" pour la FCD.

On peut en fait définir les courbes pour le choix d'un côté ou l'autre du saut. Quand j'ai parlé un moment de 1/2 de la proba, cela correspond à mette le "point" au milieu du saut, seul cas permettant une symétrie claire entre FCC et FCD (et ainsi garantissant que leur somme vaut 1 partout -- sachant qu'il y a d'autres choix permettant cette somme à 1 partout).