Deux amis d'un mathématicien choisissent deux nombres entiers strictement positifs x et y.
Ils écrivent sur un papier le résultat des calculs suivants: x+y , x-y , xy , x/y (pas forcément dans cet ordre).
Il remettent ensuite le papier au mathématicien.
Le mathématicien peut-il retrouver x et y ?
S'il additione tout il va trouver du x(2+y+1/x)
S'il multiplie tout, il va trouver autre chose, j'imagine que ca peut donner des pistes, mais connaissant tes énigmes, ca me parrait trop simple... beaucoup trop simple...
Les nombres écrits sur le papier sont, bien entendu, eux aussi des entiers strictement positifs, je suppose. Parce que sinon c'est immédiat.
Du coup x>y et x est un multiple de y.
On a donc x+y>x-y, x*y>x-y, x*y>x/y et x+y>x/y.
Les deux plus grand nombres sont donc x+y et x*y, et les deux plus petits x-y et x/y.
A partir de la je pense qu'on peut raisonnablement diviser chacun des deux grands par chacun des deux plus petits, pour voir si par hasard ça donne pas un carré, qui est justement le carré de la moitié de la différence entre les deux autres.
Je sais c'est pas bien violent comme raisonnement, mais en même temps je pense que c'est la généralisation qui bloque un peu. Avec n'importe quelle combinaison de nombres, je pense que la réponse est immédiate.
Oups, x et y sont des réels, pas des entiers.
Désolé...
Héhémais connaissant tes énigmes, ca me parrait trop simple... beaucoup trop simple...
si on a le produit et la somme de 2 reel on peut les trouver
donc suffit de prendre 2 des 4 reel (6 combinaison) et verifier si on trouve bien la difference et la division
non ?
Tu ne sais pas quel nombre est la somme ou le produit
toi, t'as mal lu la réponse de cricriEnvoyé par Lord
Tu ne sais pas quel nombre est la somme ou le produit
elle me parait bonne sa méthode. Au pire, s'il y a des cas ambigus, il y a surement des tests faciles à faire pour trouver la bonne réponse.
Effectivement, au tant pour moi.
Mais il faut savoir si la solution sera unique ou non
d'ailleurs on peut direct y'aller avec x+y et x-y, on a 6 possibilités pour (x,y) on les vérifie toutes et si y'en a plusieurs qui fonctionnent, pas de chance ^^ enfin ça veut dire que le système avait plusieurs solutions et qu'on les a toutes trouvées donc le problème est résolu... non?
EDIT : oups ^^' en fait il faut pas se mettre à la place du mathématicien mais plutot du poseur de question ^^' au temps pour moi
Ou la soustraction ou la division.
Tu peux toutefois te douter que :
comme ces deux nombres sont des entiers strictements positifs :
leur somme sera strictement plus grande que leur différence [des 4 nombres, le plus grand ne peut pas être la différence, le plus petit ne peut pas être l'additioon]
leur produit sera strictement supérieur à leur quotient si le deuxième nombre est strictement supérieur à 1. et a contrario (leur produit sera strictement inférieur à leur quotient si le deuxième nombre est strictement inférieur à 1 et strictement supérieur à 0).
Si tu as 4 entiers, le quotient donc également, donc l'un est multiple de l'autre. [si l'on considère la donnée de ton problème, à savoir que x et y sont entiers strictements positifs]
Le produit de deux entiers strictement positifs est toujours strictement supérieur à leur somme sauf dans les cas (1;1), (1;2) et (2;2).
Mais trève de blabla : la moyenne arithmétique de la somme et de la différence doit égaler la moyenne géométrique du produit et du quotient ! Donc essaie les diverses possibilités et tu devrais trouver deux nombres égaux (au moins) qui représentent x. [Sauf si ces deux gugusses ont pris x+y, x-y, yx et y/x.Si alors tu ne trouves pas deux nombres adéquats, c'est que le quotient est compris entre 0 et 1 ou que la différence est négative.]
Sinon, si tu multiplies les 4 nombres, tu obtiens (x^2-y^2)*x^2 qui est multiple de x^2, d'un carré que tu remarqueras rapidement...
Ou simplement : parmi les 6 produits de deux nombres (parmi les 4 donnés), tu dois bien avoir au moins un carré.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Shokin: J'ai précisé plus haut que c'était des réels et non des entiers.
"enfin ça veut dire que le système avait plusieurs solutions et qu'on les a toutes trouvées donc le problème est résolu... non?"
Peut-être qu'il y a toujours plus d'une solution, ou toujours une solution
1397.25+1=1398.25...
1397.25x1=1397.25...
Cas particulier soigneusement choisi...
Shokin était encore dans le cadre d'entiers. L'exemple est donc pas top.
1397.25+1=1398.25...
1397.25x1=1397.25...
Cas particulier soigneusement choisi...
Par contre, il est clair qu'il faut effectivement ajouter à ses exemples tous les couples qui contiennent 1.
On fait la somme de tous ces nombres, ce qui donne :
S= 2 x + x(y + 1/y) = x (y+1)²/y
et aussi le produit :
P = (x² - y²) * x²
On en déduit que
x = S y /(y+1)² et on porte dans l'autre équation (celle de P).
Ca donne une équation en y qu'il suffit de résoudre (de degré 4, certes !).
Ouais, comme ça ça a l'air simple, mais l'équation en y obtenue n'est vraiment pas sexy. Et puis j'imagine que si on arrive à la résoudre (ce que je suis incapable de faire. Tu as abouti, toi ?), on va se retrouver avec des solutions multiples qui ne résoudront toujours pas le problème de l'unicité de la solution...
Alors quitte à finir par tatonnement, je trouve vachement plus simple de tester les 6 combinaisons possibles (somme;différence)...
Oups, j'avais oublié le cas du (x;1).
Toutefois, qu'on parle de réels ou d'entiers, si y=1, l'on le remarquera tout de suite : je verrai deux nombres dont la différence est 2 (la somme et la différence) et vérifierai si ça joue avec les deux autres nombres (quotient et produit).
Et si y=1, quotient=produit....
Et si x=1, quotient=1/produit... les inverses sont facilement repérables...
Et si x=1, somme+différence=2... facilement visible...
Shokin
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