Loi de Kepler

[invite0731164c]

Bonsoir tout le monde!

On doit montrer la deuxième loi de Kepler (sur les aires, je crois) et je n'arrive pas à montrer une chose
Dans la situation suivante :

Loi de Kepler.png

g(t) = Aire (OP1P2) -> Ici il ne s'agit pas seulement du triangle mais du triangle plus la petite partie bombée

P1 est un point fixe, P2 (variable).

Pour achever ma demonstration, je dois montrer que la petite partie bombée (hachurée en vert) est un o(h) (ou un O(h^2).
Quelqu'un voit comment il faut procéder?

Merci d'avance
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[invite0731164c]

Au fait, est-ce que l'enjeu du problème semble clair?

[albanxiii]

Bonjour,

J'ai du mal à saisir où vous bloquez. Vous savez exprimer l'aire du secteur angulaire balayé ? Puis l'air du triangle qui correspond ? Ou alors j'ai raté quelque chose....

Utilisez le fait que le moment cinétique est conservé, et pensez au produit vectoriel pour calculer une aire.

Bonne soirée.

[invite0731164c]

Bonsoir,

En effet, je connais l'air du triangle. Mais le problème est que l'air balayée est l'air du triangle plus la petite partie bombée. De ce fait, pour utiliser l'air du triangle, je dois montrer que l'aire de la petite partie bombée est négligeable. Pour ce faire, j'essaye de prouver qu'elle est en o(h) (ou O(h^2) ) car quand je passerai à la limite le terme disparaitra. C'est plus claire?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3cc91bf8]

Juste une petite question : pourquoi vouloir décomposer l'aire balayée en triangle et partie bombée ? Une petite intégration suffit !

[invite0731164c]

Dans ce message : ¦¦.¦¦ désigne la norme usuelle, x est le produit vectoriel.


En fait, c'est un peu compliqué à expliqué car ce n'est pas tout a fait clair pour moi.

Dans le problème de Kepler, la particule est soumise à une force centrale et se déplace donc dans un plan (on l'a montré).
En fait, on connait pas vraiment l'équation du bord mais on a montré que ¦¦c(t)xc'(t)¦¦ = ¦¦H¦¦ qui est une constante.

Pour montrer ce qui nous interesse on calcule :

limite (g(t+h)-g(t))/h := g'(t) =
h->0

lim (Aire (triangle formé par O, P₂, P₂(t+h))+Aire(petite partie bombée au dessus de ce triangle))/h
h->0

Or, Aire (Triangle) = (1/2)*¦¦c(t)x(c(t+h)-c(t))¦¦ et si on a réussi à montré Aire(petite partie bombéee au dessus de ce triangle) = o(h)

On a alors g'(t) =

lim [(1/2)*¦¦c(t)x(c(t+h)-c(t))¦¦+o(h)]/h avec o(h)/h -> 0 lorsque h-> 0
h->0
et

lim [(1/2)*¦¦c(t)x(c(t+h)-c(t))¦¦]/h = (1/2)¦¦c(t)x lim (c(t+h)-c(t))/h¦¦ := (1/2)¦¦c(t)xc'(t)¦¦
h->0

On a alors g'(t) =

(1/2)¦¦c(t)xc'(t)¦¦ = (1/2)¦¦H¦¦

Par conséquent, g(t) = (1/2)¦¦H¦¦*t + C (ce qui est le la deuxieme loi de Kepler)

Je répète ma question : comment montrer que Aire(petite partie bombéee au dessus de ce triangle) = o(h) ???

[invitef17c7c8d]

Tu devrais utiliser les balises TEX pour écrire des équations: Tu gagnerais du temps et tu serais beaucoup plus lisible.


A mon sens, il faut utiliser une propriété de la fonction sinus sin(x+h)=x+o(h).

Géométriquement, cela signifie soit:

1. Que l'hypothénuse et le côté adjacent sont confondus à l'ordre 1
2. Que le côté opposé et l'arc de cercle sont confondus à l'ordre 1.