Question sur les modèles / logique

[invite7849ae55]

Bonjour.
D'après ce qu'on m'a dit, on dit qu'une propriété est "vraie" si elle découle des axiomes du modèle dans lequel elle se trouve.
Prenons une propriété P vraie dans un modèle M. Nommons Q la propriété "P vraie dans un modèle M". Cela est vrai indépendamment du modèle M car la propriété ne parle pas du cas où on est dans un modèle différent de M. Ce qui veut dire que l'on a fabriqué une propriété qui ne découle d'aucun axiome et qui n'en est pas un car décidable, je ne connais pas cet objet. Ce qui m'a été dit être impossible. Donc, il existe nécessairement un modèle "supérieur" à M qui définit les règles d’interaction entre les axiomes de M :
Exemple : Soit A un axiome de M, A implique P. Ce "implique" est une relation qui est obligatoirement gérée par un modèle extérieur. (logique classique, je suppose).
Donc "P vraie dans un modèle M" dépend de son modèle "supérieur".
Mais nous pouvons nommer N le modèle qui "succède directement" M. Et réitérer cette démarche avec "Q est vraie dans N".
Ce qui veut dire qu'il y a une infinité de "modèles successifs". (Mais bon, dans ce raisonnement, je me sers d'axiomes, donc je m"autodétruit" d'une certaine manière)

à supposer que l'on décide de prendre toujours le même modèle à partir d'un certain "rang", si cela n'est pas un axiome alors je demande "Qu'est-ce?", et si c'en est-un on a simplement créé un nouveau modèle incluant l'axiome "toujours M comme modèle successeur à partir d'un certain rang".
Et on pourrait réitérer la manœuvre. On ne s'est pas sorti d'affaire...


J'ai écris comme je pouvais, il y a des termes que je n'ai pas, et des termes dont je ne suis plus sûr avec ce questionnement, donc c'est assez impulsif comme topic, mais j'espère que vous me comprendrez quand même.
Si je n'ai pas été clair, je vous invite à me le dire, et merci de répondre. Bonne soirée.
-----

[Médiat]

Bonjour,

Effectivement ce n'est pas très clair, essentiellement parce que vous mélangez plusieurs notion, par exemple un modèle n'a pas d'axiome (l'expression "axiome du modèle M" n'a pas de sens), mais une interprétation des éléments d'un langage, qui éventuellement (le modèle, grace à l'interprétation) vérifie les axiomes d'une théorie.

Le point qui semble vous perturber, c'est "l'on a fabriqué une propriété qui ne découle d'aucun axiome", mais c'est très facile de fabriquer ce genre de propriété :
Soit M = { 0, 1}, et + une opération dont le graphe est 0+0 =0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=0. Je peux écrire la formule vérifiée par M :
Cette formule ne découle d'aucun axiome, je n'ai même pas parlé de théorie.

[invite7849ae55]

Il me semblait que : une propriété qui ne dépend d'aucun axiome est indécidable, donc est un axiome, donc dépend d'un axiome : elle même.
Non ?

[Médiat]

Bonjour,

Que veut dire "une propriété qui ne dépend d'aucun axiome" ? Si vous voulez dire une propriété qui n'est pas démontrable à partir d'un certain jeu d'axiomes (la théorie), alors oui, cette propriété est indécidable dans cette théorie.

La notion de propriété indécidable dans un modèle n'a pas de sens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7849ae55]

En fait, est-ce qu'il existe des propriétés indécidables dans une théorie et décidable dans une autre sachant qu'aucune de celles-là ne contient dans ses axiomes la propriété en question (auquel cas, il est évident que la propriété devient décidable) ?

(et, oui, je me renseigne plus sur la signification de modèle, structure, interprétation, signature etc. Et je pense que mon problème se formule, en effet, avec "théorie" et non "modèle".)

[Médiat]

En fait, est-ce qu'il existe des propriétés indécidables dans une théorie et décidable dans une autre sachant qu'aucune de celles-là ne contient dans ses axiomes la propriété en question (auquel cas, il est évident que la propriété devient décidable) ?

En bidouillant si nécessaire cela doit toujours être possible (Si P est la propriété en question, je mets comme axiome (P et Q), Q étant un autre axiome de la théorie (on peut être plus subtil dans certains cas (on ajoute une formule plus simple telle que les autres axiomes plus cette formule implique P) ; en tout état de cause, vous avez mis le doigt sur le point important : si P est indécidable dans T, alors la théorie T U {P} est consistante, et pour la définir, il suffit d'ajouter P à ses axiomes.

[invite7849ae55]

Merci, mais "Si P est la propriété en question, je mets comme axiome (P et Q)", vous vous placez dans le cas que j'ai cité après.

Je vais clarifier ma question :

Soit T une théorie ayant n (entier naturel non nul) axiomes {A1, A2, ... An}, et P une propriété indécidable dans T.
Est-ce qu'il existe une théorie U ayant p (entier naturel non nul) axiomes {B1, B2 ... Bq} telle que : ( {B1, B2 ... Bq} inter {P} = vide ) ET ( P décidable dans U) ?

[invite7849ae55]

(j'avais écrit un truc, mais finalement non)

[Médiat]

Merci, mais "Si P est la propriété en question, je mets comme axiome (P et Q)", vous vous placez dans le cas que j'ai cité après.

Je vais clarifier ma question :

Soit T une théorie ayant n (entier naturel non nul) axiomes {A1, A2, ... An}, et P une propriété indécidable dans T.
Est-ce qu'il existe une théorie U ayant p (entier naturel non nul) axiomes {B1, B2 ... Bq} telle que : ( {B1, B2 ... Bq} inter {P} = vide ) ET ( P décidable dans U) ?

J'avais bien compris, mais je ne vois pas l'intérêt de cette question, d'abord, parce qu'avoir n ou p axiomes, c'est la même chose qu'en avoir 1, et ensuite parce que vous faites jouer aux axiomes A1 à An un rôle particulier qui n'a pas lieu d'être et enfin, parce que vous faites jouer à P un rôle particulier qui n'a pas lieu d'être.

Etre un axiome n'est pas une propriété intrinsèque d'une proposition, pourquoi voulez-vous refuser à P ce statut dans le cadre précis d'une axiomatique (et il y en a généralement plein) d'une théorie ?

[invite7849ae55]

Etre un axiome n'est pas une propriété intrinsèque d'une proposition

En fait, il est vrai que je ne sais pas ce qu'est véritablement un axiome, je n'ai qu'une définition "intuitive" mais je ne parviens pas à trouver sur internet une définition précise ...
Pouvez-vous m'éclairer à ce sujet, s'il vous plait ?

[Médiat]

La réponse la plus juste, et la plus inutile, est de dire qu'un axiome est une formule qui appartient à une axiomatique.

Reste à dire ce qu'est une axiomatique : c'est une ensemble d'axiomes ! Non, je plaisante

Une axiomatique d'une théorie T est un ensemble de formules qui génère T par application des règles d'inférence.

Une théorie c'est un ensemble de formules, clos par application des règles d'inférence.

[invite7849ae55]

Je crois avoir trouvé une formulation de mon problème qui fasse bien comprendre intuitivement le problème que je voulais dire au tout début, cela se passera en deux temps :

Je donne une propriété P, existe-t-il des conditions (Théorie, modèle ... règles d'inférence ...) rigoureuses telles que P soit vérifiée dans ces dernières ?

[Médiat]

Bonjour,

Une théorie étant un ensemble clos par inférence, il suffit de regarder si la propriété fait partie de la liste.

La vérité d'une propriété peut être vérifiée grâce à la définition même de "vérité dans un modèle", définition donnée par Tarski et qui consiste en une récurrence sur la complexité de la formule.

Dans le cadre d'une axiomatique d'une théorie, savoir si une propriété appartient forcément à toutes théories (celle de départ n'est pas forcément complète) contenant ces axiomes, c'est exactement le travail du mathématicien : faire une démonstration.

[invite7849ae55]

Je prends ça pour un "oui".

Appelons ce que vous dites ("règles d'inférence", "faire partie de la liste", "la définition même de "vérité dans un modèle", définition donnée par Tarski et qui consiste en une récurrence sur la complexité de la formule.", etc.) "les conditions qui satisfont P".

Je nomme maintenant la proposition Q qui dit " "les conditions qui satisfont P" satisfont P". Et je nomme R la négation de Q.

D'après ce que vous dites, il existe des conditions qui satisfont R.

[Médiat]

Ce que vous écrivez n'est pas clair pour moi.

Afin que je comprene mieux où vous voulez en venir, est-ce que votre préoccupation est de formaliser les métamathématiques ?

[invite7849ae55]

Bah je veux en venir que c'est assez embêtant le problème que je me pose : je ne sais pas ce qui est vrai ou faux.
Même si un mathématicien a défini le vrai par rapport aux modèles d'une théorie ou quoi, ça n'est pas le problème, puisque rien ne dit que sa définition soit vraie.
Et si il existe une démonstration qui dit que ce qui dit est vrai, il faudrait une démonstration de cette démonstration, etc.
Donc, en soit, aucune démonstration n'est valide à moins de supposer une infinité de démonstrations, et encore, même pas. Dès que l'on suppose quelque chose, tout se casse la figure, parce qu'il y a des déductions etc. On ne peut même pas dire "Bon, ça va bien, je pose tout à l'avance, et je crée un système où tout est déjà posé et rien n'a à être démontré" donc créer un système sans "dynamique", sans déductions ; sauf qu'il y en aurait toujours une : le fait qu'une proposition s'implique elle même. Donc un univers dépend toujours d'un univers "au dessus" de lui qui régis ses règles, et on ne peut pas dire "Je considère tous les univers", on ne peut rien poser quoi ... ça pose un petit problème. Non ?

[invite7849ae55]

Bon, je vais être honnête, je me suis posé la question suivante aussi : peut être que cette issu apparemment impossible vient du raisonnement et de la théorie que j'utilise pour le dire, à savoir : la logique classique. Hors, mon problème est clairement qu'il y a des vérités et qu'elles ne sont pas démontrables. Je me pose donc aussi la question : ne serais-ce pas une conséquence directe de de l'incomplétude de la logique classique ?
C'est ma seule réponse à mon problème qui m'ait l'air plausible, mais ça n'a, peut-être, rien à voir.

[Médiat]

Bah je veux en venir que c'est assez embêtant le problème que je me pose : je ne sais pas ce qui est vrai ou faux.

Aucun mathématicien ne le sait puisque les mathématiques ne se préoccupent pas de vérité.

Même si un mathématicien a défini le vrai par rapport aux modèles d'une théorie ou quoi, ça n'est pas le problème, puisque rien ne dit que sa définition soit vraie.

Voilà une très belle illustration de mon combat contre ce vocabulaire en mathématique (ne pas utiliser le vocabulaire vrai/faux, sauf dans un cadre prècis , je me suis exprimé des dizaines de fois sur ce sujet) : le vrai en gras est le vrai qui a une signification dans le cadre d'un modèle mathématique, alors que le vrai en italique concerne la vérité du monde hors de toutes théorie mathématique (si cela veut dire quelque chose), d'ailleurs votre question de savoir si une définition est vraie ou non n'a pas de sens, une définition n'a pas à être vraie ou pas, c'est juste le vocabulaire commun entre mathématique et autre chose qui vous fait poser cette question.

[Médiat]

Hors, mon problème est clairement qu'il y a des vérités et qu'elles ne sont pas démontrables. Je me pose donc aussi la question : ne serais-ce pas une conséquence directe de de l'incomplétude de la logique classique ?

La phrase "il y a des vérités et qu'elles ne sont pas démontrables"* est une façon de citer le théorème d'incomplétude de Gödel que je condamne absolument (et j'ai déjà expliqué pourquoi).

*) C'est le vocabulaire de JY Girard, par exemple.

[invite7849ae55]

Nous parlons de la même vérité... simplement je ne dis pas "par rapport à un modèle d'une théorie régie par des règle d'inférences ...." à chaque fois que je dis "vrai".
Et c'est d'ailleurs de là que vient mon problème : je considère la vérité totalement relative, dont la véracité des démonstrations et des définitions.
Si vous me dites "Pour chaque proposition P, il existe (un modèle, théorie ....) des conditions qui font d'elle une proposition vraie (dans ces conditions)" cette phrase est EGALEMENT UNE PROPOSITION ne pouvant être vraie "comme ça, dans l'absolu" qui n'a pas de sens, est forcément relative, elle aussi, à des conditions pour être vraie par rapport à ces dernières.


Peut être que ce que vous condamnez dans ma phrase est le "démontrable" qui peut avoir deux sens : un humain (comme les quatre couleurs), et un purement mathématique. Je parle, bien sûr, du second. Si ce n'est pas cela, alors je vous pose la question "qu'est-ce qui vous dérange ?".

[Médiat]

Nous parlons de la même vérité... simplement je ne dis pas "par rapport à un modèle d'une théorie régie par des règle d'inférences ...." à chaque fois que je dis "vrai".

Donc nous ne parlons pas de la même chose, car je n'utilise le mot "vérité" dans le cadre d'une théorie que si cette dernière est complète, et même dans ce cas, je ne le fait qu'avec réticence, et c'est cela qui me dérange.

[invite7849ae55]

Donc la proposition "Pour chaque proposition P, il existe (un modèle, théorie ....) des conditions qui font d'elle une proposition vraie (dans ces conditions)" ne peut être vraie (d'après votre définition du vrai, et la mienne, même si je ne m'exprime pas bien) que dans un modèle d'une théorie particulière.
Il existe donc une infinité de théories et modèles qui définissent un cadre de vérité à une proposition au sujet d'une autre théorie et modèle.

(je ne le répète pas à chaque fois, mais je n'affirme rien, je dis simplement ce que je pense pour pouvoir être corrigé, et je vous remercie de le faire)

[azizovsky]

bonjour , en math chaque mot on lui attribu un sens (je suis pas math...), les mathématiques(théories) modernes ont une formulation axiomatique (régles du jeu) comme base ,une POPRIETE découle des axiomes (régles du jeu), si tu'as une théorie(un jeu) qui t'interdise de touché le balon avec la main (AXIOME ou régle P )+..+....+ , tu peux jouer au foot , toutes les combinaisons qu'ont voit sur les terrains sont des propriétés , si tu veux ajouter NON P tu'as définit un autre jeu ,démontrer NON P (une faute de main :langage hors jeu)(régle , principe ,axiome)n' a n'a aucun sens, c'est comme ça que j'arrive à simplifier ma vie .

[invite7849ae55]

une POPRIETE découle des axiomes

Tu utilises une théorie (et un modèle) pour dire qu'elle "découle". Et cette dernière théorie aussi a besoin d'une nouvelle théorie pour dire que quelque chose "découle" etc. Et on ne s'arrête jamais comme ça.

Mais encore une fois, je ne suis pas sûr que mon raisonnement soit valide, étant donné que dans mon raisonnement même j'utilise une logique.

[invite76543456789]

Bonjour,
J'aimerai bien poser quelques questions aussi sur ce theme, qui me turlupinent depuis pas mal de temps.

En fait mon probleme vient essentiellement de la question suivante, la logique (et la theorie de la démonstration) s'inscrit t elle dans la théorie des ensembles, ou la théorie des ensembles est elle une theorie comme les autres, dont la logique n'a pas besoin.

En fait mon souci, vient de la notion de modele.
Pour etudier la consistance d'une theorie il suffit, me semble t il, d'en produire un modele. Bref il est interessant a bien des egards de créer des modeles de la theorie. Bon, mais ces modeles sont des ensembles, ils relevent donc... de la théorie des ensembles!

Donc a quel niveau se place la theorie de la démonstration, dans le cadre de l'axiomatique ZF? Ou l'axiomatique ZF est elle une theorie "au meme titre que les autres" (mais alors la notion de modele devient quand meme problematique)? Ayant lu une partie du bouquin de Krivine, je penche pour la seconde option, mais alors j'ai un peu du mal a voir comment faire sans créer une "pre-theorie des ensembles" donnant deja une axiomatique minimaliste de la théorie des ensembles, par ailleurs, que serait un modele de ZF? Je sais bien qu'on ne sait pas si ZF est consistante, et donc on ne peut en donner de modele, et qu'on ne pourra jamais le faire (Godel), sauf a supposer consistante une theorie plus "petite".

Prenons un exemple simple, dans un modele une propriété est vrai ou elle est fausse (désolé Mediat), c'est le tiers exclu! Bien mais ce tiers exclu est lui meme un axiome d'une theorie, donc la propriété qui assure qu'une propriété soit toujours vraie ou fausse dans un modele, provient elle meme d'une axiomatique. Je sais pas si j'arrive a rendre clair ce qui me chatouille. En fait je me demande s'il existe une sorte de "meta-axiomatique" (le tiers exclu en ferait parti) dans la quelle on pourrait developper a la fois la theorie des ensembles (ZF) et la logique. Mais cette meta axiomatique ce serait elle meme pas traitée par la logique.

[Médiat]

Bonjour,

Je n'ai pas beaucoup de temps, je reviendrai sur ce sujet plus tard, mais je peux dire deux choses rapidement :

l'axiomatique ZF est elle une theorie "au meme titre que les autres"

C'est ainsi que je vois les choses (il est vrai que j'ai été élève de Krivine).

Prenons un exemple simple, dans un modele une propriété est vrai ou elle est fausse (désolé Mediat)

Vous êtes toute pardonnée, c'est le seul cadre où ce vocabulaire ne me dérange pas .

[invite7849ae55]

Vous êtes toute pardonnée, c'est le seul cadre où ce vocabulaire ne me dérange pas .

Je n'ai jamais parlé d'un autre cadre.

[Médiat]

Je n'ai jamais parlé d'un autre cadre.

Ben si :

Même si un mathématicien a défini le vrai par rapport aux modèles d'une théorie ou quoi, ça n'est pas le problème, puisque rien ne dit que sa définition soit vraie.

La partie en gras n'utilise pas le mot "vrai" dans le cadre d'un modèle précis.

[invite7849ae55]

Je me suis simplement mal exprimé, mais je me suis déjà expriqué dessus.
Et si tu veux j'explique mon problème mieux :

Prenons une Théorie T et M un modèle de cette théorie, Alors une proposition P (décidable) a une valeur de vérité par rapport à M.
Prenons la proposition Q qui dit "Prenons une Théorie T et M un modèle de cette théorie, Alors une proposition P (décidable) a une valeur de vérité par rapport à M." Cette proposition n'est vraie que par rapport à un modèle d'une théorie.
Prenons la proposition R qui dit "Prenons la proposition Q qui dit "Prenons une Théorie T et M un modèle de cette théorie, Alors une proposition P (décidable) a une valeur de vérité par rapport à M." Cette proposition n'est vraie que par rapport à un modèle d'une théorie." etc.

[Médiat]

Prenons une Théorie T et M un modèle de cette théorie, Alors une proposition P (décidable) a une valeur de vérité par rapport à M.

Si P est décidable dans T, alors elle a la même valeur de vérité dans tous les modèles de T.

Pourriez-vous reformuler votre texte en tentant de préciser le langage utilisé à chaque fois que vous parlez de théorie et de modèle ...