Question sur les modèles / logique

[invite7849ae55]

Je vais essayer, mais vous voyez ce que je veux dire intuitivement et vous attendez que je formule mon problème de façon extrêmement rigoureuse, ou vous ne voyez absolument pas ce que je veux dire ?
Le fait qu'il y ait une dépendance de quelque chose en "dehors d'un système" pour évaluer le système lui même.

Parce que je n'ai probablement pas les connaissances suffisantes pour énoncer mon problème le plus rigoureusement possible, donc, tant qu'à faire, même si ce que je dis est bancale, si vous voyez, ça n'est pas grave, ça évitera d'y passer plus de temps que nécessaire ^^.

"Si P est décidable dans T, alors elle a la même valeur de vérité dans tous les modèles de T." Eh bien alors tant mieux, ça élimine le problème du modèle. ^^"

Le langage, je n'en sais rien. On considère un langage L qui rend la propriété vraie par rapport à la théorie (du coup, puisqu'elle est décidable), ça va ?
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[Médiat]

Donc on en revient à la question de mon message #15.

On considère un langage L qui rend la propriété vraie par rapport à la théorie

Un langage est préalable aux formules donc aux théories, un langage ne peut pas rendre une propriété "vraie dans la théorie".

[invite7849ae55]

Bon, est-ce que vous pouvez me lister, si ça n'est pas trop long, tout ce qu'il faut définir au préalable pour dire qu'un proposition est vraie (attention il ne s'agit pas du vrai absolu, j'ai dis "définir au préalable pour dire [...] vrai") ?

(Langage, Théorie, Modèle ?)

Comme ça je pourrais me faire comprendre ^^.

[Médiat]

Il vous faut choisir :
1) une logique (vous avez parlé de logique classique du premier ordre)
2) un langage
3) une théorie (sous forme d'une axiomatique par exemple).

[Médiat]

Bonjour,

En fait mon probleme vient essentiellement de la question suivante, la logique (et la theorie de la démonstration) s'inscrit t elle dans la théorie des ensembles, ou la théorie des ensembles est elle une theorie comme les autres, dont la logique n'a pas besoin.

Comme je l'ai déjà dit, je considère la théorie des ensembles (ZF) comme une théorie comme les autres qui s'exprime en logique classique égalitaire du premier ordre lans le langage ne contenant qu'un seul symbole de relation binaire.

En fait mon souci, vient de la notion de modele.

C'est normal. La théorie des modèles est une partie de la logique (donc préalable à toutes théories), et elle a besoin de parler d'ensembles ...
Quelques remarques :
1) La recherche du moteur immobile est vaine : il est impossible d'écrire un dictionnaire de Français (par exemple) dans lequel les mots seraient classés de sorte que la définition de chaque mot n'utilise que les mots précédents.
2) Dans la très grosse majorité des cas une notion naïve, et même rudimentaire suffit largement (par exemple il est rare que dans une théorie, on ait besoin de l'ensemble des parties de l'ensemble des parties de l'ensemble qui nous intéresse (P(P(E)) est largement suffisant, et il est inutile d'avoir une théorie complète des ensembles pour parler de cela). Il va de soi que pour les ensembles finis, c'est encore plus simple.

Pour etudier la consistance d'une theorie il suffit, me semble t il, d'en produire un modele

Oui, c'est le théorème de complétude de Gödel (à mon avis, bien plus important que le théorème d'incomplétude).

Bref il est interessant a bien des egards de créer des modeles de la theorie. Bon, mais ces modeles sont des ensembles, ils relevent donc... de la théorie des ensembles!

cf. ci-dessus. J'ajoute que, lorsqu'on peut le faire, considérer que tout ce que l'on fait a lieu dans un modèle de ZF permet de disposer d'outils intéressants.

que serait un modele de ZF? Je sais bien qu'on ne sait pas si ZF est consistante, et donc on ne peut en donner de modele, et qu'on ne pourra jamais le faire (Godel), sauf a supposer consistante une theorie plus "petite".

Ah, si je savais à quoi ressemble un modèle de ZF … (personne ne le sait).
Il est quand même intéressant de savoir que , muni de la relation : (le nième bit de m en binaire est égal à 1), la partie entre parenthèse s'exprime très bien de façon formelle, est un modèle de ZFC - {axiome de l'infini}.

Prenons un exemple simple, dans un modele une propriété est vrai ou elle est fausse (désolé Mediat), c'est le tiers exclu!

Comme je l'ai déjà dit, mais je précise, les expressions " la formule p est vraie/fausse dans tel modèle ", ou " la formule p est vraie/fausse dans tous les modèles de T ", ne me dérange pas plus que cela (mathématiquement acceptable, mais susceptible d'induire des mauvaises compréhensions à cause des connotations qui accompagnent les mots vrais et faux.

Bien mais ce tiers exclu est lui meme un axiome d'une theorie, donc la propriété qui assure qu'une propriété soit toujours vraie ou fausse dans un modele, provient elle meme d'une axiomatique.

La logique utilisée, dans le cas de la logique floue ou des logiques modales, c'est un peu plus compliqué que cela (voir les modèles de Kripke).

Pour donner un autre exemple de cercle vicieux : certains pensent que la théorie des catégories est le fondement des mathématiques, c'est à dire que toutes les mathématiques peuvent s'exprimer à l'aide de la seule théorie des catégories, or la définition commence, en général (cf. Grothendieck par exemple) par la données de deux ensembles (ou de 2 classes, mais la théorie des classes (NBG par exemple) étant une théorie des ensembles …), personnellement, cela ne me gêne pas (pas plus que cela ne me gêne pour la théorie des modèles).

Je précise que les luttes de chapelle pour savoir si c'est la théorie des ensembles qui est à la base de toutes les mathématiques, ou si c'est la théorie des catégories qui rempli ce rôle m'horripile au dernier degré et me font irrémédiablement penser à une cour de récréation, aussi la première phrase ci-dessus ne veut pas dire que je tiens ceux qui pensent ainsi pour quantité négligeable, mais juste que je n'ai pas d'avis sur cette question que je trouve sans intérêt depuis que je sais que chacune de ces deux théories peut exprimer l'autre.

[invite7849ae55]

Il vous faut choisir :
1) une logique (vous avez parlé de logique classique du premier ordre)
2) un langage
3) une théorie (sous forme d'une axiomatique par exemple).

1) Quelle est la différence entre une règle et un axiome ?
D'après ce que j'ai vu la différence viendrait du fait que les axiomes concernent la théorie dans laquelle on travaille, alors que les règles sont extérieures à cette dernière. Mais, d'après cela, en quoi dire qu'une Théorie "dirige" une autre est incorrecte ?
Dans ce que je lis j'ai la nette impression que si on remplace règle par "axiome d'une théorie extérieure dirigeant celle dans laquelle on travaille", on répond à la définition qui est donnée par mes sources.

2)De ce que j'ai lu un langage n'est qu'un "ensemble" de symboles de fonctions. (constante (arité 0), d'arité supérieure ou égale à 1, et relationelle = qui associe une proposition à une valeur de vérité dépendante du modèle de la théorie utilisée).

3) Quelle est votre/la/les définition(s) exacte(s) d'une théorie ? (je me pose la question à cause des parenthèses que vous avez mis, je pensais qu'une théorie était forcément une axiomatique).

[Médiat]

1) Ce que l'on appelle règles dans l'expression "règles d'inférence" peuvent aussi être appelés axiomes de la logique.
2) Le choix d'un langage conditionne les formules que l'on peut écrire, c'est donc un élément fondamental.
3) Une théorie est un ensemble de formule (du langage choisi) clos par inférence, mais comme, très souvent, on ne sait pas donner cette liste exhaustivement, on définit une théorie par une axiomatique.

[invite7849ae55]

1) Mais alors, en quoi la logique utilisée n'est-elle pas une théorie elle même ?
2) Oui, oui, je ne disais pas le contraire, simplement pour être sûr. Merci.
3) Je ne saisis pas bien la subtilité, quelle est la différence entre "ensemble de formule (du langage choisi) clos par inférence" et "axiomatique" ?

[Médiat]

1) Parce que cela n'a aucun rapport.
3) Une axiomatique est un ensemble de formules, une théorie est un ensemble de formules clos (une axiomatique est une famille génératrice)

[invite7849ae55]

1) Bah il y a une axiomatique ça fait un petit rapport non ?
3) En fait une théorie est une grande liste de liste de symboles (formules) du langage choisi au préalable, simplement ?