Est-il correct de dire "proche de l'infini" ?

[NicoEnac]

Bonjour,

Il ne s'agit pas vraiment de mathématiques du supérieur mais je ne pense pas non plus que ce soit du niveau collège et lycée. En réalité, je pense que ma question est plutôt d'ordre syntaxique.
Tout est dans le titre mais je vais vous situer la question : un proche m'a affirmé hier au sujet d'un examen qu'il passait que "son ratio points obtenus / temps passé à réviser est proche de l'infini".
Je lui ai rétorqué que sa phrase ne signifiait rien car n'importe quel nombre réel est éloigné d'une distance infinie de l'infini. Donc pour être proche de l'infini, il aurait fallu qu'il passe un temps nul à réviser et son ratio aurait donc été infini.
D'où ma question : est-il correct de dire "proche de l'infini" ?
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[invite06b993d0]

ben si le temps qu'il a passé à réviser est proche de zéro et s'il a obtenu au moins 1 point...

[NicoEnac]

ben si le temps qu'il a passé à réviser est proche de zéro et s'il a obtenu au moins 1 point...

Diviser par un nombre proche de zéro donne un résultat proche de l'infini ?
Je ne demande pas de comprendre ce qu'il voulait dire, ça je l'ai bien compris.
Ma question serait plutôt : peut-on parler de proximité à l'infini ?
Je pose cette question car la notion d'infini n'est pas aussi triviale qu'on peut à priori le penser. Il est difficile d'imaginer quelque chose sans fin pour nous mortels, pratiquant des activités ou n'étant en contact qu'avec des objets ou notions finies.

[Tryss]

Oui, on peut parler de proximité à l'infini, à condition d'en préciser le sens.

Par exemple sur , on peut définir la distance Avec la convention naturelle que

Et alors on dit que x est plus proche de l'infini que y si

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Oui, mais ce qu'il demande c'est pour l'expression absolue ("proche de l'infini") et pas relative ("plus proche de l'infini que").

[L'expression "proche de" utilisée en absolu n'est pas facile à rationaliser, mais manifestement les humains se comprennent quand ils disent "mon lieu de travail est proche de mon habitation", par exemple...]

[Tryss]

[L'expression "proche de" utilisée en absolu n'est pas facile à rationaliser, mais manifestement les humains se comprennent quand ils disent "mon lieu de travail est proche de mon habitation", par exemple...]

Même pas... Pour un parisien "proche de chez lui" ça voudra dire à 5 minutes à pied, alors qu'en province, à la campagne, "proche de chez moi" ça peut vouloir dire une demi-heure en voiture.

Quand on dit "proche de", ça veut dire "plus proche qu'une certaine proportion jugée moyenne", et c'est très dépendant de l'individu (pour les cas non extrêmes).

[Amanuensis]

Quand on dit "proche de", ça veut dire "plus proche qu'une certaine proportion jugée moyenne", et c'est très dépendant de l'individu (pour les cas non extrêmes).

Bien d'accord. Mais comment appliquer cela à "proche de l'infini", même en prenant en compte la norme proposée ? Car c'est cela la question, il me semble.

PS : Pour l'autre point, "comprendre" ne veut pas dire "comprendre toujours la même chose indépendamment du contexte"

[NicoEnac]

Bonjour à vous 2,

Vos réponses dépassent mes attentes.

En effet, j'aurais du me penser que la proximité est une valeur subjective dépendant de l'échelle, de l'expérience, de la moyenne observée dans un cas précis, etc...
Néanmoins, si tant est qu'on puisse définir une notion de proximité absolue, je trouve que parler de proximité absolue à l'infini est une aberration. Ce n'est pas pour rien que R⁺ ne contient pas l'infini non ?

Je trouve que les non-matheux n'ont pas conscience de la notion d'infini - je dis cela sans aucun dénigrement. Nous sommes entourés par des objets, concepts finis et ne serait-ce qu'imaginer l'infini est compliqué car ne se rapporte à rien de "réel" dans la vie de tous les jours. La plupart des gens peuvent compter et s'imaginer jusqu'aux milliards voire milliers de milliards mais au-delà, ils considèrent seulement que ce sont de grands nombres et l'assimilent facilement à l'infini. En effet, si vous demandez la différence entre 10²⁰ et 10²¹ à une personne, elle ne va pas lui paraitre énorme alors qu'entre ces 2 nombres, il en existe plus que les milliers de milliards dont je parlais précédemment.

[invite06b993d0]

La plupart des gens peuvent compter et s'imaginer jusqu'aux milliards voire milliers de milliards mais au-delà, ils considèrent seulement que ce sont de grands nombres et l'assimilent facilement à l'infini.

oh mais il n'y a pas besoin d'aller jusqu'aux milliards pour être "proche de l'infini". Tu connais sans doute le théorème de la limite centrale, qui dit que la moyenne de n variables aléatoires i.i.d. de variance finie tend vers une loi normale quand n tend vers l'infini. Et bien un moyen efficace de simuler une variable normale est de prendre la moyenne de 12 variables uniformes. Ici 12 est vu comme proche de l'infini...

[invitef17c7c8d]

Oui, on peut parler de proximité à l'infini, à condition d'en préciser le sens.

Par exemple sur , on peut définir la distance Avec la convention naturelle que

Et alors on dit que x est plus proche de l'infini que y si

Est ce qu'en quelque sorte pour pouvoir toucher du doigt l'infini, on n'est pas obligé d'utiliser une fonction qui tende vers une valeur fini quand x tend vers l'infini?

Pourquoi d'autre part utilise-t-on en général la fonction exponentielle (Et pas l'hyperbole par exemple)? Car parmis toutes les fonctions, c'est elle qui tend "le plus rapidement" vers 0 ?

[hexbinmos]

Il existe plusieurs infinis (Analyse non-standard (même si il s'agit plus de "nombres infiniment grands" dans ce cas), ou les aleph ...). A partir de là, "proche de l'infini" n'a aucun sens.

[invite76543456789]

Salut!
En mathématiques on utilise souvent l'expression proche de l'infini. Dire qu'une propriété est vraie proche de l'infini, ca veut dire la meme chose qu'une propriété vraie proche de 1. Dans les deux cas ca veut dire vrai sur une certain voisinage de l'infini (resp. 1).
On peut donner un sens precis a un voisinage de l'infini (qui soit coherent avec l'utilisation topologique) mais meme sans faire ça on appelle de cette façon les ensemble de la forme ]a,+oo[ les voisinages de +oo.
Je ne vois pas beaucoup moins (ni beaucoup plus de sens) à parler de proche de 1, que de proche de l'infini. Sachant que si vous n'etes ni en 1, ni en l'infini, vous etes aussi loin de l'un que de l'autre ^^.

[Amanuensis]

Pour une valeur finie le contexte donne souvent une échelle significative, par exemple par la précision donnée à la valeur finie ou l'unité. Proche de 10µs ou proche de 10 ans s'interprètent en relatif à l'unité indiquée. Même sans unité, par défaut ce sera une fraction de la valeur. Faut un contexte particulier pour accepter que 10 soit proche de 1, pas pour accepter que 1,01 soit proche de 1.

Bien moins évident pour l'infini.

[invite06b993d0]

c'était le sens de ma première réponse. C'est plus intuitif de parler d'un temps passé à réviser proche de zéro (on a tous connu ça)

[invitef17c7c8d]

Je ne vois pas beaucoup moins (ni beaucoup plus de sens) à parler de proche de 1, que de proche de l'infini. Sachant que si vous n'etes ni en 1, ni en l'infini, vous etes aussi loin de l'un que de l'autre ^^.

Pas trop d'accord. Pourquoi?
A cause de la cohérence de l'arithmétique.
L'arithmétique est supposée cohérente sinon tout raisonnement aboutit à une absurdité.
Ce que tu dis là, correspond tout à fait à une analyse inductive où tu affirmes une absurdité à savoir.

Soit T la proposition " être proche de"
Soit A l'hypothèse "l'infini"
Soit( not A) l'hypothèse "un nombre fini"

Or compte tenu de la cohérence de l'arithmétique tu ne peux dire ce que tu dis à savoir:
T implique A et T implique (not A) ce qui aboutirait à une incoréhence, une absurdité.

Car si tu pars de 2, tu es plus proche de 1 que de l'infini en prenant en compte l'ordre ou la cohérence de l'arithmétique.

[hexbinmos]

Car si tu pars de 2, tu es plus proche de 1 que de l'infini en prenant en compte l'ordre ou la cohérence de l'arithmétique.

Pourtant il y a autant de nombres entre 1 et 2 qu'entre 1 et tout autre nombre réel. Et comme il n'y a aucune condition sur le type d'infini, il suffit de prendre un nombre infiniment grand, il y a autant de nombre entre 1 et 2 qu'entre 1 et ledit infini.

[invitef17c7c8d]

Pourtant il y a autant de nombres entre 1 et 2 qu'entre 1 et tout autre nombre réel. Et comme il n'y a aucune condition sur le type d'infini, il suffit de prendre un nombre infiniment grand, il y a autant de nombre entre 1 et 2 qu'entre 1 et l'infini.

Tu remets ici en cause la cohérence de l'arithmétique.
Tout raisonnement aboutissant à une incohérence doit se faire dans le cadre de l'arithmétique.
Le théorème de Godel sur l'incomplétude se fait à l'intérieur même de l'arithmétique.
L'incomplétude ou l'indécidabilité (par exemple ici, on ne sait si l'on est plus proche de 1 ou de l'infini) se fait en supposant la complétude de l'arithmétique.

[invite76543456789]

Pas trop d'accord. Pourquoi?
A cause de la cohérence de l'arithmétique.
L'arithmétique est supposée cohérente sinon tout raisonnement aboutit à une absurdité.
Ce que tu dis là, correspond tout à fait à une analyse inductive où tu affirmes une absurdité à savoir.

Soit T la proposition " être proche de"
Soit A l'hypothèse "l'infini"
Soit( not A) l'hypothèse "un nombre fini"

Or compte tenu de la cohérence de l'arithmétique tu ne peux dire ce que tu dis à savoir:
T implique A et T implique (not A) ce qui aboutirait à une incoréhence, une absurdité.

Car si tu pars de 2, tu es plus proche de 1 que de l'infini en prenant en compte l'ordre ou la cohérence de l'arithmétique.

What? J'ai rien compris.
Parler proximité c'est parler topologie... On peut faire de la topologie sur Z, en general la topologie sur Z est discrete (on peut en mettre des plus exotiques), et tout point est à la meme distance des autres (la topologie discrete est metrisable).
Si on se place dans R, alors l'intervalle ]1,2[ est le meme que l'intervalle ]2,+oo[ d'un point de vue topologique (voici un isomorphisme topologique entre les deux, 2+exp(tan(pi(x-1)-pi/2)) ).

[invitef17c7c8d]

.
Parler proximité c'est parler topologie...

ET pourquoi cela?
2 est plus proche de 1 que 4. Un enfant de 7 ans pourrait le comprendre. C'est la base de l'arithmétique.

Si maintenant parceque tu peux déformer l'espace et dire que le ballon de rugby et la sphère c'est la même chose, alors que le tore non car il ya un trou au milieu, désolé mais ça ne tient pas la route. Ce n'est pas une preuve cohérente pour parler de ce qui est proche.

[invite76543456789]

ET pourquoi cela?
2 est plus proche de 1 que 4. Un enfant de 7 ans pourrait le comprendre. C'est la base de l'arithmétique.

Parce que la branche mathématique qui s'occupe de la notion de proximité c'est la topologie.
2 et plus proche de 1 que de 4, parce que la topologie sur R est la topologie de l'ordre. Et cela vous semble inné parce que depuis tout petit on vous a presenté R comme etant une "droite" et que l'on a representé Z comme des points sur cette droite.

Mais rien ne n'empeche de representé R autrement. Si je met sur R une autre topologie que celle de l'ordre, alors 2 peut etre aussi loin de 1 que 4, plus loin, ou plus pres.

[hexbinmos]

2 est plus proche de 1 que 4. Un enfant de 7 ans pourrait le comprendre. C'est la base de l'arithmétique.

Mais regarde, entre 2 et 1 il y a 3/2, entre 3/2 et 1 il y a 5/4, entre 5/4 et 1 il y a 9/8. En fait, regardes :
f:R+-> ]1,2] telle que f : x ->
g:]1,2] -> R+ telle que g : x ->
g rond f = f rond g = id

Il existe une bijection entre R+ et ]1,2], donc il y a autant de nombres entre 1 et 2 qu'entre 0 et n'importe quel autre nombre réel positif.

[invitef17c7c8d]

Le paradoxe de Zenon à d'autres!

[hexbinmos]

Mais tu sais qu'il y a autant de rationnels que d'entiers naturels ?