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Théorème de Carathéodory



  1. #1
    cipso

    Théorème de Carathéodory


    ------

    Bonjour,

    Le théorème de Carathéodory est le suivant :

    Dans un espace affine de dimension n, l'enveloppe convexe d'un sous ensemble A est l'ensemble des barycentres à coefficients positif ou nul de famille de n+1 points de A.

    Supposons qu'on soit dans un plan affine, et A un ensemble quelconque, et A1 A2 A3 trois points alignés de A. L'ensemble des barycentres est donc la droite (A1A2) et non l'enveloppe convexe de A.

    J'ai sans doutes loupé quelques chose au niveau du terme "famille" mais je ne vois pas bien quoi.

    Merci

    -----

  2. #2
    Tryss

    Re : Théorème de Carathéodory

    Le théorème dit simplement qu'une telle famille de n+1 points existe, pas que toute famille de n+1 points vérifie la propriété.

  3. #3
    cipso

    Re : Théorème de Carathéodory

    Ah d'accord, j'avais pas compris ça comme ça! merci bien

  4. #4
    thepasboss

    Re : Théorème de Carathéodory

    Bonsoir,

    Hummm ce résultat m'étonne quelque peu, si on se place dans la cas du disque unité dans R², quels sont les points qui définissent son enveloppe convexe (qui me semble bien être le disque lui même) ? oO ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    thepasboss

    Re : Théorème de Carathéodory

    Ah je retire ma question, j'avais mal comprit.

    Il s'agit ici de dire que tout point de l'enveloppe peut être définit comme barycentre d'une famille de n+1 point qui dépendent du point de départ. Pas de trouver une famille valable pour tous les points de l'enveloppe convexe.

    Désolé du post inutile.

  7. #6
    cipso

    Re : Théorème de Carathéodory

    J'ai encore une légère incompréhension, supposons que l'ensemble A est un disque, un point extrémal P fait partit de l'enveloppe convexe, or pour "l'atteindre" comme barycentre de points, il faut que P fasse lui même partit de cette famille de n+1 points. J'ai du mal comprendre encore une fois car je ne vois pas l'intérêt du théorème.

    Un autre propriété nous dit que l'enveloppe convexe d'une partie S est constitué de l'ensemble des barycentres affectés de coefficients positifs.

    Je ne vous pas en quoi le Théorème énoncé plus haut apporte une plus grande informations...

  8. #7
    mehoul

    Re : Théorème de Carathéodory

    Citation Envoyé par cipso Voir le message
    Un autre propriété nous dit que l'enveloppe convexe d'une partie S est constitué de l'ensemble des barycentres affectés de coefficients positifs.

    Je ne vous pas en quoi le Théorème énoncé plus haut apporte une plus grande informations...
    il fait passer de la réunion de tous les polygones à sommets dans S à la réunion de tous les triangles à sommets dans S (en dimension 2)

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