arithmétique

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai plusieurs question sur différents points en arithmétique:

1) supposons que 3<p1<..<pk sont des nombres premiers de la forme 4n+3. En sachant que le produit de 2 entiers de la forme 4n+1 est aussi de la forme 4n+1,
Montrer que 4(p1...pk)+3 est divisible par un nombre premier de la forme 4n+3 qui n'appartient pas à l'ensemble {3,p1,...pk}

je ne vois pas comment faire et à quoi nous sert l'hypothèse avec les entiers de la forme 4n+1


2) quel est le reste lorsqu'on divise 1000! par 3^(300)

j'ai pensé à utiliser l'indicatrice d'Euler que je note f
mais le problème c'est que f(3^300)=3^(300)-3^(299) que je ne peux pas trouver sans calculatrice. de plus je ne peux pas faire la division de 1000! par f(3^(300))
comment faire?


3) Montrer que n³-n est divisible par 24 lorsque n>0 est impair

j'ai essayé d'utiliser le théorème de fermat avec 3 car 24=3x8 du coup j'ai n^(3)=1 [3] mais après?


4) soit p un nombre premier différent de 2 et 5. Montrer que p divise au moins un membre de l'ensemble {1,11,111,1111,...}
on donne comme indication, par le théorème de fermat, p>5 alors 10^p-1 est divisible par p.

j'ai réussi à traiter le cas p=3 mais pour p>5 je ne vois pas quoi faire avec l'indication


merci de votre aide
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[invite06b993d0]

pour 1) ce nombre est nécessairement de la forme 4n+3 (car p1...pk est soit 4n+1 soit 4n+3). Il a nécessairement un facteur premier de la forme 4n+3 car si tous ses facteurs premiers étaient de la forme 4n+1 lui aussi serait de cette forme. Ce facteur premier n'est aucun des pi puisque 3 n'en fait pas partie.

[invite57a1e779]

Pour le 3 : comme 3 et 8 sont premiers entre eux, il suffit de prouver que n³-n est divisible par 3 et par 8.

On est ramené à calculer les valeurs de n³-n modulo 3, puis modulo 8 (sans oublier que n est impair).

[invite371ae0af]

je sais déjà que 3 divise n^3-n peut importe si n pair ou impair d'après Fermat

mais pour 8 suis je obligé de faire une récurrence en posant n=2k+1?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il suffit d'une petite congruence modulo 8 ; comme n est impair, il n'y a que quatre cas à étudier.

[invite371ae0af]

je connaissais pas la méthode avec congruence:
du coup effectivement il y a 4 cas à regarder: k=0,1,2,3
c'est-à-dire n=1,3,5,7
et du coup ca marche


sinon pour le 1) pourquoi a-t-on cela: p1...pk est soit 4n+1 soit 4n+3

[invite371ae0af]

je reviens sur le reste de 1000! par 3^(300)

il fais 0 d'après un logiciel mais comment le trouve-t-on?

[invite06b993d0]

1000! est le produit des nombre de 1 à 1000. Un tiers de ces nombres est divisible par 3, soit 333 nombres. Donc 1000! est divisible par 3^333 donc par 3^300.

[invite371ae0af]

merci de ton aide
mais pourrais tu m'expliquer pourquoi 1/3 des nombres de 1000! est divisible par 3?

et j'en profite également pour te demander ceci:

sinon pour le 1) pourquoi a-t-on cela: p1...pk est soit 4n+1 soit 4n+3

[invite06b993d0]

3,6,9,12,...

pour l'autre affaire, tu raisonnes modulo 4. Les nombres premiers impairs sont congrus, soit à 1, soit à -1 (=3) modulo 4. Quand tu multiplies des nombres premiers impairs, tu obtiens soit 1 soit -1 modulo 4, selon les cas.

par contre je ne vois pas ceque vient faire l'hypothèse p1<p2<..<pk dans l'énoncé.

[invite371ae0af]

en faite ce que je n'ai pas compris c'est comment tu trouves que 333 nombres sont divisibles par 3
tu ne les as pas tous compté en faisant 3;6,9,...

[invite57a1e779]

Bonjour,

Les multiples de 3 inférieurs à 1000 sont exactement : 3, 6, 9, 12, 15, ..., 990, 993, 996, 999.
Il y en a exactement 333.

[invite371ae0af]

oui je suis d'accord, il y a 333 nombres
mais comment faites vous pour les trouver?
on les compte par exemple: 3,6,9,12,15,18,21,..,999 ou bien il y a une formule qui nous les donnes?

[invite06b993d0]

une formule, oui, qu'on appelle une division.

tu n'as pas remarqué qu'un nombre entier sur deux était pair, un sur trois divisible par trois, un sur quatre divisible par quatre, etc ? <il faudrait préciser, je sais...>

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour être rigoureux à l'extrême :

On note : c'est un ensemble de cardinal .

On définit une application :



dont on vérifie facilement qu'elle est injective :



et on en déduit que l'ensemble est de cardinal .

Or les éléments de sont, par définition, des multiples de , et ils sont inférieurs à puisque :



Tout ça pour dire qu'on écrit les multiples de sous la forme , et que le facteur permet de les compter, ... c'est de la s...e de diptères.

[invite371ae0af]

j'ai honte de moi,
je savais même pas ca:

nombre entier sur deux était pair, un sur trois divisible par trois, un sur quatre divisible par quatre, etc