arithmétique

[invite277b9a22]

bonjour
j'ai un exo à faire et y'a une question ki me bloque
pour n entier naturel non nul on pose : En = (rac3 + 1)²ⁿ⁺¹ - (rac3 - 1)²ⁿ⁺¹
g montré que En = 2 fois somme de k=0 à n des [(2k parmi 2n+1) fois 3^k]
et aussi que En = partie entière de (rac3 + 1)²ⁿ⁺¹

il faut que pour n naturel non nul, je montre qu'il existes 2 entier a_n et b_n à préciser tel que (rac3 + 1)²ⁿ⁺¹ = a_n + b_nrac3
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

il faut que pour n naturel non nul, je montre qu'il existes 2 entier a_n et b_n à préciser tel que (rac3 + 1)²ⁿ⁺¹ = a_n + b_nrac3

Développe avec le binôme de Newton puis regroupe les termes correctement.

[invite277b9a22]

merci d'avoir répondu.
j'ai bien pensé au binome mai je n arrive pas pas à regrouper les terme

[invite57a1e779]

Il suffit de regrouper les termes suivant la parité de l'exposant de .

Tu peux également démontrer ton résultat par récurrence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite277b9a22]

pourriez-vous juste me donner le résultat parcque meme avec vos indication je n'y arrive pas

[invite57a1e779]

Tu as tout simplement puis tu discutes de la valeur de suivant la parité de , et tu regroupes les termes en conséquence.

Si tu ne vois vraiment pas comment faire, je te conseille vivement de faire cette question en utilisant un raisonnement par récurrence.

[invite277b9a22]

en fait je ne vois pas : si k est pair (rac3)^k est entier mais je ne vois pas commen répondre à la question.

et je serai bien tenté de faire une récurrence mais ça ne me donnera en aucun cas les valeur des entier a_n et b_n

[invite277b9a22]

personne pour m'aider ?

[invite57a1e779]

Développe , regarde ce qui se passe, et mets en place le calcul avec un exposant impair quelconque.

[invite277b9a22]

je vois bien que ça fait un entier + un entier x rac3 mais je n'arrive pas à les expliciter avec le binome. c'est juste ça dont j'ai besoin

[invite277b9a22]

le problème c'est que je trouve b_n=3ⁿ mais après on me demande de montrer que 2ⁿ divise b_n pour tout n naturel

[invite277b9a22]

[Flyingsquirrel]

je vois bien que ça fait un entier + un entier x rac3 mais je n'arrive pas à les expliciter avec le binome. c'est juste ça dont j'ai besoin

Il suffit de couper la somme en deux :

le problème c'est que je trouve b_n=3ⁿ mais après on me demande de montrer que 2ⁿ divise b_n pour tout n naturel

Oui et de toute façon . Pour montrer que est divisible par on peut montrer par récurrence un résultat plus fort : pour tout , et sont divisibles par .

[invite277b9a22]

ah ben merci bocoup je compren mieux maintenan
j'ai une dernière difficulté, c'est d'exprimer a_n et b_n en fonction de a_n-1 et b_n-1

vous auriez une idée ? parqu'en remplçant dans les expressions je n'arrive pas à isoler a_n et b_n

[Flyingsquirrel]

j'ai une dernière difficulté, c'est d'exprimer a_n et b_n en fonction de a_n-1 et b_n-1

On commence par écrire

on remplace par puis on développe...

[invite277b9a22]

merci
mais du coup a_n dépend de a_n-1 et b_n-1
et b_n dépen de a_n-1 et b_n-1
je n'arrive pas alors à montrer que 2ⁿ divise a_n et que 2ⁿ divise aussi b_n

[Flyingsquirrel]

mais du coup a_n dépend de a_n-1 et b_n-1
et b_n dépen de a_n-1 et b_n-1

Oui, c'est pour cette raison que je t'ai suggéré de montrer simultanément que et sont divisibles par . Quand je dis « simultanément », cela signifie que la propriété à prouver par récurrence est, au rang , « et sont divisibles par ».

[invite277b9a22]

ah ok merci bocoup
j'ai pa l'habitude de faire des récurrences comme ça et vu que chui pas très bon en math, l'idée me vien pas come ça

encore merci et a biento