C^k - difféomorphisme

[The Artist]

Bonjour,

Soit f application C^k de I vers J.

Si f est une bijection C^k de I sur J, la dérivée n'ayant pas de racine sur I alors f est un C^k-difféomorphisme de I sur J.

Par exemple, soit la fonction f(x)=sin(x) définie sur I=]-Pi/2;Pi/2[.

Elle est continue bijective de I sur J=]-1;1[ mais elle s'annule en x=0.

Donc sin(x) n'est pas un C^0-difféomorphisme. Est ce juste ?

Un autre exemple : soit la fonction g(x)=exp(x) sur I=]-Pi/2;Pi/2[.

g^(k)(x)=exp(x) est continue bijective de I sur J=]exp(-Pi/2);exp(Pi/2)[ et ne s'annule pas sur I.

Donc d'après la définition g est un C^k-difféomorphisme.

Comment montrer que c'est un C^infini-difféomorphisme ?

Merci d'avance pour les réponses !
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[mimo13]

Bonjour,

Soit f application C^k de I vers J.

Si f est une bijection C^k de I sur J, la dérivée n'ayant pas de racine sur I alors f est un C^k-difféomorphisme de I sur J.

Par exemple, soit la fonction f(x)=sin(x) définie sur I=]-Pi/2;Pi/2[.

Elle est continue bijective de I sur J=]-1;1[ mais elle s'annule en x=0.

Donc sin(x) n'est pas un C^0-difféomorphisme. Est ce juste ?

Un autre exemple : soit la fonction g(x)=exp(x) sur I=]-Pi/2;Pi/2[.

g^(k)(x)=exp(x) est continue bijective de I sur J=]exp(-Pi/2);exp(Pi/2)[ et ne s'annule pas sur I.

Donc d'après la définition g est un C^k-difféomorphisme.

Comment montrer que c'est un C^infini-difféomorphisme ?

Merci d'avance pour les réponses !

Je ne suis pas d'accord avec toi sur un petit détail.
En général montrer qu'une fonction est un difféomorphisme n'est pas aussi simple, mais pour le cas d'une fonction de variable réelle on a l'équivalence:

est un difféomorphisme ssi f est de classe et la dérivée de ne s'annule pas sur .

C'est donc la dérivée et non la fonction qui ne doit pas s'annuler sur l'intervalle en question.
Pour ton premier exemple la dérivée de ta fonction est la fonction qui ne s'annule pas sur ton intervalle.

Cordialement.

[The Artist]

Merci de m'avoir corrigé !

Je comprend mieux l'équivalence (dans le cas des fonctions d'une variable réelle) maintenant et je vois où est mon erreur.

Donc est bien un -difféomorphisme de I vers J car ne s'annule pas sur I, en effet.

Comment peut on montrer que est ou n'est pas un -difféomorphisme ??

Suffit-il d'exhiber un contre-exemple dont la dérivée s'annule sur I ?

De manière générale comment montrer qu'une fonction d'une variable réelle est un -difféomorphisme ??