Arithmétique

[invite44d70ebf]

Salut,
J'aurais vraiment besoin d'aide pour ce petit exo.

Résoudre dans Z: x²congru à -1 modulo 5.

Merci d'avance.
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[invite6e71eaf9]

Bonjour,
x² congru à -1 modulo 5.
donc il existe k appartenant à R tel que x²=-1 +5k
soit : x²+1-5k=0
resous cette équation et tu aura une relation entre x et k

[invite44d70ebf]

Merci d' avoir répondu mais on a déjà tenté cette démarche.
Comme x² congru à-1 modulo 5
<=>x²+1=5k
donc k>0 et x²+1 est multiple de 5
par conséquent x² est un carré parfait qui se termine par 4 ou9 pour que x²+1 se termine par 0 ou 5.
now on aimerait obtenir une forme si c'est possible de tous les carrés parfaits qui se terminent par 9 ou 4.

[bubulle_01]

Tableau de congruences ... étudie les restes de par la division par 5 en fonction des restes de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e71eaf9]

Merci d' avoir répondu mais on a déjà tenté cette démarche.
Comme x² congru à-1 modulo 5
<=>x²+1=5k
donc k>0 et x²+1 est multiple de 5
par conséquent x² est un carré parfait qui se termine par 4 ou9 pour que x²+1 se termine par 0 ou 5.
now on aimerait obtenir une forme si c'est possible de tous les carrés parfaits qui se terminent par 9 ou 4.

x1=(racine (20k-4))/2 et x2=(-racine (20k-4))/2 pour k >= 1
ca te donne une forme de tous les carrés parfaits non ?

[invitef1b93a42]

Bonjour,
Pourquoi ne pas faire simplement un petit tableau de congruences : dans , on a , et . Donc, les solutions de l'équation sont de la forme et .

[invite44d70ebf]

x1=(racine (20k-4))/2 et x2=(-racine (20k-4))/2 pour k >= 1
ca te donne une forme de tous les carrés parfaits non ?

merci d'avoir répondu mais on cherche tous les carrés parfaits se terminant par 4 ou 9.
pour k=3, x²=14 qui n'est pas un carré parfait.

[invite44d70ebf]

Bonjour,
Pourquoi ne pas faire simplement un petit tableau de congruences : dans , on a , et . Donc, les solutions de l'équation sont de la forme et .

J'ai déjà entendu parler du tableau de congruences mais je n'en comprends pas bien le fonctionnement et l'application ici. Pourrais tu expliquer un peu mieux?

[invitef1b93a42]

Un tableau de congruences modulo p consiste à prendre toutes les valeurs possibles de x modulo p : 0,1,2,3,...,p-1 . Puis on applique des additions et multiplications à chacune des valeurs de x que l'on a énoncé plus haut pour retrouver l'équation de départ. Par exemple nous voulons ici connaître les solutions de donc dans un premier temps on regarde toutes les valeurs possible de x modulo 5 : 0,1,2,3 et 4. Alors, on prend et on voit qu'on a =0,1,4,9 et 16, c'est-à-dire modulo 5 : 0,1,4,4,1. Nous voulons donc, en se réferant à notre tableau, pour ou .

[invite44d70ebf]

Merci tu nous as bien expliqué! Tu es de haut niveau! Tu pourrais être un bon prof!

[bubulle_01]

x1=(racine (20k-4))/2 et x2=(-racine (20k-4))/2 pour k >= 1
ca te donne une forme de tous les carrés parfaits non ?

Ceci est complètement faux.
On traite dans Z, tu ne peux pas manipuler de racines si tu n'es pas certain que le résultat reste dans Z.
En l'occurence, ca m'étonnerait que les carrés suivent une progression linéaire ...