Bonsoir,
Voilà j'aimerai avoir une piste sur un exercice d'arithmétique, j'y ai passé pas mal de temps sans trouver la démonstration. Une piste suffit, je ne veux surtout pas la correction complète.Voici l'énoncé : Soit
tel que
En faisant les calculs dans Z/3Z ?
A moins que je ne me trompe a²+ab+b² ne peut jamais être congru à 2 modulo 3 ????
Effectivement,
...et donc on a forcément (modulo 3) a=b
".. et donc" me surprend un peu (p=5, a=5, b=10)
Une façon de faire (compliquée, en attendant mieux) :
Déjà si p divise a il divise aussi b.
Si ni a ni b ne sont divisibles par p, on a (modulo p=3*k+2) :
a^3 = b^3 alors a^3k = b^3k et a^2=b^2 car (Fermat) a^p = a ie a=b ou a=-b.
Si b=a+B*p on reporte et p | 3a^2 et du même genre si b=-a+B*p
