[TS+] Arithmétique

[mx6]

Hello !

Can you prove that ?

for all integer and .
-----

[invite2220c077]

Yes, I can (mais je connais déjà la réponse, exercice des OIM 1972 ... Donc je laisse la parole à mes confrères).

[mx6]

Yes, I can (mais je connais déjà la réponse, exercice des OIM 1972 ... Donc je laisse la parole à mes confrères).

Je savais pas que c'était un OIM, je l'ai démonté mais avec plein de machins ! Enfin démo assez longue quand même

[invite2220c077]

Il existe une démo qui tient en 3 lignes si tentait que l'on connaisse la formule de Legendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef1b93a42]

Ca se fait facilement avec les valuations p-adiques :

 Cliquez pour afficher

. . Or, avec la définition de la fonction partie entière notée , on montre facilement que d'où avec et en particulier premier. En sommant, il vient : et d'après la formule de Legendre qui est , on trouve : .

Dis moi ce que tu en penses Zweig.

[invite2220c077]

J'ai fait pareil .

[invitef1b93a42]

Tu peux nous donner une idée de ta démonstration mx6 s'il te plaît ? Ca m'intéresse.

[mx6]

J'ai pas encore travailler les valuations p-adiques, donc je pige pas grand chose :d ! J'ai utilisé de la combinatoire, et de la réccurence ! Donc voilà ^^

[invitef1b93a42]

Voici quelques petits exercices assez amusants d'arithmétique : , montrer que .
Trouver tous les couples d'entiers tels que (Oral ENS)
Calculer .

. Soient {} et {} deux ensembles. Montrer que et forment une partition de si, et seulement si . (ce théorème est, je trouve, magnifique !)

[invite2220c077]

Salut,

Les grandes lignes :

1) On regardant modulo 8 et 3, c'est direct.

2) J'ai déjà donné une solution sur ce forum, dans le topic des exos de spé en haut, dans le cas général avec et des nombres premiers.

4) Théorème de Beatty. C'est de la manipulation "bête" d'inégalité. Y'a "juste" à utiliser la définition de la partie entière. Sinon a et b sont irrationnels, pas rationnels.

[invite2220c077]

A mon tour !

Montrer qu'il existe une infinité de puissances de 2 dans la suite

[invitef1b93a42]

Est-ce correct ? Corrige moi Zweig stp.

 Cliquez pour afficher

Supposons qu'il y ai un nombre fini de puissances de 2 dans la suite . Ainsi, avec . Donc, avec . Or, et, puisque , on a . Cela revient à dire que et donc que n'est pas un entier ce qui est absurde. Donc, l'hypothèse de départ est fausse, on a donc un nombre infini de puissances de 2 dans la suite .

EDIT : ok je n'ai rien dit ça ne tient pas debout.

[invitef1b93a42]

Up du topic, voilà une petite équation bien bourine : . Bon courage

[invite2220c077]

Salut,

On remarque que marchent mais pas pour 1, 4, 5. Maintenant, on montre sans grande difficulté, par récurrence, que pour tout :



Donc les seules solutions sont

[invitef1b93a42]

Hum... Salopiaud C'est ça j'ai aussi procédé par minoration

[invitee210c01d]

mmmh que signifie ?

[invite2220c077]

E(x) : la partie entière du réel x.

[Universus]

Salut,

A mon tour !

Montrer qu'il existe une infinité de puissances de 2 dans la suite

Je ne dis pas (vraiment pas) que je suis parvenu à une véritable démonstration de cet énoncé ; il y a fort probablement plus simple et plus efficace comme démonstration (plus rigoureux aussi, la fin étant...), mais quand même, voici le PDF.

Autrement, je ne sais pas si cela a déjà été posée comme question ni même s'il y a un meilleur fil pour poser cette question, mais voici quand même (je l'ai aimée parce que je l'ai résolue en découvrant une nouvelle méthode, simple oui quand on y pense, mais il faut la trouver quand même :P ) :

Évaluer la somme

EDIT : Pour le PDF, certaines phrases sont mal tournées et ne veulent pas signifier ce qu'on pourrait en comprendre, mais c'est essentiellement correct

[Universus]

Bon, j'ai vu sur un autre fil qu'il avait été posé comme question de trouver l'expression d'une somme fortement similaire à celle que j'ai proposée dans mon dernier message, donc la façon de procéder doit vous être connue. Pour ceux qui serait quand même curieux de connaître la réponse, Wolfram Alpha peut la calculer pour vous très facilement.

Je vous propose donc un autre problème, davantage de propos (i.e. portant davantage sur l'arithmétique), qui ne devrait pas être trop difficile non plus j'imagine (surtout pour des gens qui étudient l'arithmétique à l'école) :

Soient des entiers avec . Montrez qu'il existe des entiers non tous nuls tels que

Edition : Je rappelle que je n'ai pas trop d'idées de ce que vous voyez en ''TS+'', alors si les rares problèmes que je pose ne sont pas de niveau (pas nécessairement trop difficiles, ça m'étonnerait ^^), faites-le moi savoir s'il-vous-plaît.

[Seirios]

Cette propriété est-elle vraie ? Parce qu'en passant par les logarithmes, l'on a , et comme , alors il faut que tous les termes de la somme soient nuls, et . Donc le produit ne sera jamais égal à 1 avec au moins un non nul et si l'on choisit , non ?

[Flyingsquirrel]

Je pense que l'énoncé est correct si par « il existe des entiers » il faut comprendre « il existe des entiers relatifs ».

[Universus]

Rien n'indique que les sont forcément positifs (comme dit Flyingsquirrel bref)

[Seirios]

Effectivement, il me semblait avoir lu que les n étaient positifs...Au temps pour moi.

[Seirios]

Autrement, je ne sais pas si cela a déjà été posée comme question ni même s'il y a un meilleur fil pour poser cette question, mais voici quand même (je l'ai aimée parce que je l'ai résolue en découvrant une nouvelle méthode, simple oui quand on y pense, mais il faut la trouver quand même :P ) :

Évaluer la somme

 Cliquez pour afficher

En utilisant la même méthode que j'avais utilisé pour calculer , je trouve , le reste n'est que calculatoire.

[Universus]

En utilisant la même méthode que j'avais utilisé pour calculer [...]

Peux-tu m'indiquer quelle est cette méthode s'il-te-plaît, ou justifier comment tu arrives à cette somme (j'ai la paresse de chercher à la justifier moi-même, je dois l'admettre).

Autrement, voici comment j'avais procéder pour calculer cette somme:

 Cliquez pour afficher

Définissons et . On a en particulier (qui converge selon la règle de d'Alembert) et la série géométrique de raison 1/2 (au terme 1 près). Ainsi, on peut définir :

D'après les expressions données ci-haut, on en déduit que :

soit, en développement le binôme, en comparant ce résultat à la définition initiale de et en isolant :

On peut déterminer que (vu l'expression de la série géométrique de raison 1/2). Il reste donc 2 inconnus indépendants de n, qu'on peut trouver en se faisant un système de deux équations (choississons par exemple n=1 et n=2). Une fois les valeurs de et ainsi déterminées, on obtient l'expression générale de :

Cette méthode se généralise facilement à la somme partielle pour , la difficulté étant de résoudre pour un quelconque le système d'équation afin de déterminer les différents .

[Universus]

C'est drôle, je commence à prendre plaisir à envoyer des questions sur lesquelles je tombe et à les transcrire ici (je commence donc aussi peut-être à être fatiguant...)

Soient les naturels diviseurs d'un nombre naturel , tels que et . Soit



Montrez que et donnez toutes les valeurs de pour lesquelles divise .

[Seirios]

Peux-tu m'indiquer quelle est cette méthode s'il-te-plaît, ou justifier comment tu arrives à cette somme (j'ai la paresse de chercher à la justifier moi-même, je dois l'admettre).

 Cliquez pour afficher

Je prends le cas de la somme , pour simplifier ; on a . A partir de là, le résultat est facile à trouver. Pour calculer , l'on effectue deux fois ce procédé.

[Romain-des-Bois]

J'ai comme l'impression que quelque chose ne vas pas dans cette égalité :

Non ?

(EDIT : je ne parle pas de l'indice de sommation)

[Seirios]

Rectification :

[Universus]

Merci pour l'explication