[TS+] Arithmétique

[Universus]

Soient des entiers avec . Montrez qu'il existe des entiers non tous nuls tels que

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L'idée est de vouloir transformer la produit en une certaine somme des grâce aux propriétés des exposants afin d'obtenir un système d'équations. Dans l'intervalle des possibles, il y a 9 nombres premiers. Ainsi, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, chacun des peut s'écrire sous la forme , étant des entiers naturels. On cherche donc :

avec

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, . Ainsi, on a un système d'équation à 10 inconnus (les ) et à 9 équations (issues de chacun des 9 ). Soit la matrice et le vecteur . On a :

Ce système d'équation est compatible et il y a au moins une variable libre (car 10-9 = 1) de laquelle toutes les autres dépendent. Si cette variable libre est choisie entière et différente de 0, on peut montrer (à cause que les sont entiers et en effectuant les opérations élémentaires sur dans le cadre de l'élimination de Gauss) que tous les autres le sont également. On démontre ainsi ce qu'on voulait montrer. Désolé si vous n'avez jamais vu d'équation matricielle, mais il s'agit d'une façon concise de formuler le système d'équation et, éventuellement, de le résoudre.

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[Universus]

Soient les naturels diviseurs d'un nombre naturel , tels que et . Soit



Montrez que et donnez toutes les valeurs de pour lesquelles divise .

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On va noter selon le contexte . Considérons . Regardons en premier la différence de avec et factorisons par . Ensuite, on fait la différence de ce terme avec le terme et on factorise encore. On procède comme ça à répétition. Par la suite, en divisant le tout par , on obtient :

avec

En regardant chacun des termes de , puisque , on voit que ces termes sont tous compris entre 0 et 1, donc aussi.

donc

On a donc démontré le premier aspect. Pour le second, considérons l’ensemble . On comprend assez facilement que ; est ainsi l’ensemble des nombres qui sont le produits de deux des éléments de . Si (i.e. un nombre premier), alors et ; divise ainsi . Autrement, on a que d’après la définition de et le résultat démontré plus tôt. Or, il n’y a aucun élément de qui satisfasse de telles conditions, et étant les deux plus grands éléments de cet ensemble. Ainsi, les seuls nombres pour lesquels sont les nombres premiers.