Développement en série entière

invite859e6153 · 01/04/2012, 16h44

Bonjour à tous,
pouvez m'aider à trouver le développement en série entière de la fonction suivante

exp(λ*arcsin(x))

Merci d'avance

invite859e6153 · 01/04/2012, 19h33

Personne ne sait comment s y prendre ?

invite57a1e779 · 01/04/2012, 20h21

Bonjour,

On peut commencer par déterminer une équation différentielle sympathique dont la fonction à développer en série entière est solution.

**breukin** · 02/04/2012, 09h35

Je ne pense pas qu'on va pouvoir trouver des formules simples pour les coefficients $\text{[math]}$ simples, même avec la technique de l'équation différentielle, laquelle est $\text{[math]}$
Or on a $\text{[math]}$ (je ne me préoccupe pas ici du rayon de convergence, lequel est probablement 1).
On voit qu'en effectuant le produit avec $\text{[math]}$ on va sans doute avoir une identification terme à terme difficile pour l'obtention d'une formule générique du terme $\text{[math]}$ , sauf si par miracle les choses se simplifient ?
En revanche, cette méthode permet les calculs numériques.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 02/04/2012, 10h25

Bonjour,

Dans un premier temps, la relation obtenue en dérivant :

$\text{[math]}$

peut sembler peu pratique mais, avec en dérivant une seconde fois :

$\text{[math]}$

d'où :

$\text{[math]}$

et $\text{[math]}$ est solution de l'équation différentielle linéaire, et à coefficients polynomiaux, donc fort sympathique :

$\text{[math]}$

invite859e6153 · 02/04/2012, 18h07

Merci beaucoup et ensuite avec l'equation différentielle linéaire, il suffit de la résoudre en posant y=sigma(an*x^n)
Et ensuite je pourrais en déduire une expression de an ?

**breukin** · 02/04/2012, 18h13

Vous allez pouvoir en déduire des relations de récurrence reliant les $\text{[math]}$ .

invite859e6153 · 02/04/2012, 18h59

$\text{[math]}$ =0

Je suis bloqué à ce niveau comment ensuite déterminer les coeffficients an

Merci

**breukin** · 04/04/2012, 22h12

Il faut ensuite regrouper tous les termes en même puissance, ce qui donnera des relations de récurrence (enlevez les étoiles qui alourdissent la lecture de la formule).
Et pourquoi jusqu'à n ? La somme va à l'infini.

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Donc pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
et pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .
Reste à trouver les bonnes valeurs initiales pour que ça donne la fonction initiales (calculer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ).

invite7fcc267d · 06/04/2012, 01h45

1/(1-t^2)^1/2 est dériver de l'arc sin et donc en multipliant par lamda.....

**breukin** · 06/04/2012, 09h18

Et donc ? Explicitez où mènent vos points de suspension.

**breukin** · 06/04/2012, 09h33

Donc on trouve (sauf erreur de calcul plus haut) $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et donc :
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$

Développement en série entière