Bonjour,
Je voudrais démontrer que si f est une fonction continue et linéaire et que f(f(x))=f(x) alors f(x) est constante.
J'essaie de le démontrer par le théorème des valeurs intermédiaires avec un raisonnement par l'absurde, mais impossible d'aboutir.
Si quelqu'un voit comment faire ce serait cool
Merci d'avance.
malheureusement c'est faux. L'identité est continue et linéaire et vérifie ff=f.
Oui mais l'identité est constante non ?
Non.
Une fonction constante est une fonction qui a toujours la même valeur. L'identité elle est une fonction qui n'a jamais la même valeur.
f(x) = a est une fonction constante
f(x) = x est la fonction identité
Ah d'accord, merci beaucoup pour cet éclaircissement
Mais donc si on suppose que le fonction n'est plus linéaire, on a toujours le contre exemple de l'identité ?
LA fonction valeur absolue n'est pas linéaire (et pas constante), pourtant on a bien abs( abs(x) ) = abs(x)
En gros il suffit que la fonction soit l'identité sur son image. Dans le cas de l'identité, l'image est R, dans le cas de la valeur absolue, c'est R+, dans le cas d'une constante c'est un singleton.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
