definition rigoureuse des fonctions trigonometriques

[invite004b9ca9]

je ne trouve pas de definition de cos (x)
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[369]

cosx= (exp(ix)+exp(-ix))/2

[Tryss]

Il y en a plusieurs :
- la définition géométrique "Le rapport entre le coté adjacent à l'angle de mesure x et l’hypoténuse dans un triangle rectangle". L'identité remarquable cos²(x) + sin²(x) est alors une conséquence du théorème de pythagore.
Le problème étant alors pour calculer la dérivée ou l'intégrale du cosinus, ou pour étendre la fonction sur R (elle est définie naturellement sur [0,pi/2] )

- Comme la partie réelle de e^(ix) ou bien (conséquence) la définition sous forme de série entière


Cette définition a d'autres avantages et inconvénients, mais on peut montrer qu'elles sont équivalentes.

[invite004b9ca9]

non dans la definition par series entieres on ne peut pas montrer que cos(x+2pi)=cos(x) facilement

[A voir en vidéo sur Futura]

[CM63]

Bonsoir,
Une façon simple de la définir est de poser l'équation différentielle :
y"=-y
Les solutions de cette équation différentielle forment un espace vectoriel de fonctions de dimension 2. La fonction cos(x) est celle de ces fonctions qui prend la valeur 1 en 0 et dont la dérivée est nulle en 0.
On montre qu'alors il existe un nombre pi, tel que cos(pi/2)=0.
Ensuite le développement en série entière découle du développement de Taylor.
Bonne soirée.

[invite2e5fadca]

La définition la plus sérieuse selon moi :
On définit l'exponentielle complexe par sa série entière
On montre que est un morphisme de groupe continu surjectif de dans . On montre de plus l'équivalence ssi .
On en déduit que le noyau de est de la forme , avec . Par définition, on pose . Finalement, on définit le cosinus par :

Tout les résultats et formule sur cette fonction en découle immédiatement.