Démonstration K[X] est un EV de dim infinie

[invite39ac77b7]

Bonjour,
Je dois:
1)Montrer que K[X] est un espace vectoriel de dimension infinie.[Penser aux suites nulles à partir d'un certain rang]
2)Montrer que K_nest un espace vectoriel de dimension n+1.

Ma réponse:
1)Soit P∈K[X], (a₀;a₁;...;a_n)∈K
P=a₀+a₁X+...+a_nXⁿ

avec (X)_n∈N telle que X=(0,1,0,...,0,...)
d'où X²=(0,0,1,0,...,0,...)
X³=(0,0,0,1,0,...,0,...)
...
Par récurrence sur n∈N, on obtient que
∀n∈N Xⁿ=(0,...,0,1,0,...) 1 étant au n+1 ème rang (C'est bien une suite nulle à partir du rang n+1)
Comme P est engendré par un ensemble de dimension non finie
Alors K[X] est un espace vectoriel de dimension infinie.

Pouvez vous vérifier SVP
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[polo974]

c'est quoi K ?
c'est quoi X ?
c'est quoi n ?

[invite39ac77b7]

K un corps ( R ou C)
X l'indéterminée et K[X] une algèbre commutative
n un entier naturel