sous espace vectoriel fermé

[invitea536a859]

Bonjour,j'ai un problème avec la démonstration de la fermeture d 'un s e v:

z(t)=Az(t)+Bu(t)+Gf(t) , t>0
z(t₀)=z₀ ,
avec l’équation de sortie est y(t)=Cz(t)
la solution de ce système est
z(T)=S(T)z₀+∫S(T-s)Bu(s)ds+∫S(T-s)Gf(s)ds avec les A,B,C,G ce sont des opérateurs .

y_{u,f}(t)=CS(t)z₀+∫₀^{t}CS(t-s)Bu(s)ds+∫₀^{t}CS(t-s)Gf(s)ds
qui on peut encore l'écrire y_{u,f}(t=CS(T)z₀+CHu+CRf
le sev que j ai est
F={f∈L²[0,T;F] /f∈L²[0,T;F] réalisant CS(T)z₀+CHu+CRf=CS(T)z₀}
={f∈L²[0,T;F] /f∈L²[0,T;F] réalisant CHu+CRf=0}
={f∈L²[0,T;F] /f∈L²[0,T;F] réalisant CRf∈Im(CH)}
j'ai déja essaie avec la démonstration avec des suites mais le prof m'a dit trouvée une autre manière merci .
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[inviteea028771]

Pour montrer qu'un truc est fermé, souvent on montre qu'il est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue.

Si tu montre que est continue, alors , donc F est l'image réciproque d'un fermé par une fonction continue, donc un fermé.

[invitea536a859]

Merci pour votre aide .mais dans mon cas le perturbation f et associée au contrôle u dc la fonction doit contient le u.est ce que je peut l’écrire Φ(u) :f→CHU+Cfu